Ωραίο θέμα μιγαδικής..

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Ωραίο θέμα μιγαδικής..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Φεβ 16, 2010 1:23 am

Έστω συνάρτηση \bf f άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με συμπαγή φορέα. Θεωρούμε,
\boxed{\displaystyle \bf I(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{+\infty} f(x)\cdot x^{s-1}\;dx}.
(α)Είναι η \bf I ολόμορφη για \bf \Re e(s)>0 και αν ναι γιατί;
(β) Να δειχτεί ότι η \bf f έχει αναλυτική συνέχεια σαν ακέραια συνάρτηση σε μιγαδικό επίπεδο.
(γ) Να δειχτεί ότι \bf I(0)=0 και γενικότερα ότι \bf I(-n)=(-1)^n f^{(n+1)}(0) για κάθε \bf n\geq 0.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8543
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ωραίο θέμα μιγαδικής..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 02, 2010 1:35 pm

(α) Είναι γνωστό πως η \Gamma είναι ολόμορφη για \Re(s) > 0. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως η \Delta(s) = \int_0^{\infty} f(x) x^{s-1} \; dx είναι ολόμορφη για \Re(s) > 0. Κατ' αρχήν επειδή η f είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα, άρα είναι και φραγμένη και άρα το ολοκλήρωμα συγκλίνει για \Re(s) > 0. Επίσης για \Re(s) > 0 έχουμε \displaystyle{ \Delta{'}(s) = \int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} f(x) x^{s-1} \; dx = \int_0^{\infty} f(x) (\log{x}) x^{s-1} \; dx} και το τελευταίο ολοκλήρωμα συγκλίνει αφού \Re(s) > 0. Πρέπει βέβαια να δικαιολογήσουμε την εναλλαγή ολοκλήρωσης και μερικής παραγώγισης. Αρκεί να ελέγξουμε ότι
- Η συνάρτηση x \to f(x) x^{s-1} είναι ολοκληρώσιμη για κάθε \Re(s) > 0
- Η συνάρτηση s \to f(x) x^{s-1} είναι παραγωγίσιμη για κάθε x \in (0,\infty)
- Για κάθε \Re(s) > 0 η συνάρτηση x \to \left| \frac{\partial}{\partial s} f(x) x^{s-1} \right| = |f(x) (\log{x}) x^{\Re(s) - 1}| είναι παραγωγίσιμη.

(β) Παρατηρούμε (ολοκλήρωση κατά μέλη) ότι \displaystyle{ \int_0^{\infty} f(x) x^{s-1} \; dx = -\frac{1}{s} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^s \; dx}. Χρησιμοποιήσαμε ότι \displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^s f(x)}{s} = 0} και \displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{x^s f(x)}{s} = 0}. (Το πρώτο έπεται αφού η f είναι φραγμένη και το δεύτερο αφού έχει συμπαγή φορέα.)

Άρα \displaystyle{ I_f(s) = -\frac{1}{s\Gamma(s)} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^s \; dx = -\frac{1}{\Gamma(s+1)} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^{s+1-1} \; dx = -I_{f{'}}(s+1)} και επαγωγικά \displaystyle{ I_f(s) = (-1)^n I_{f^{(n)}}(s+n)}.

Η συνάρτηση I_{f^{(n)}}(s+n) είναι ολόμορφη για \Re(s) > -n (ίδια απόδειξη αφού επαγωγικά η f^(n) είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα) και άρα αποτελεί την αναλυτική συνέχεια της I_f σε αυτό το διάστημα. Άρα η I_f(s) έχει αναλυτική συνέχεια σε όλο το \mathbb{C}.

(γ) Έχουμε I_f(-n) = (-1)^{n+1}I_{f^{(n+1)}}(1) = (-1)^{n+1}\frac{1}{\Gamma(1)} \int_0^{\infty} f^{(n+1)}(x) \; dx = (-1)^{n+1}f^{(n)}(0)

Δεν βρίσκω την ζητούμενη απάντηση στο (γ) αλλά νομίζω πως η απάντησή μου είναι σωστή. (Επίσης στο (β) πρέπει να ζητάει ότι η I έχει αναλυτική συνέχεια και όχι η f.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες