Γινόμενο ημιτόνων
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Βρίσκω το αριστερό μέλος . Προφανώς πρόκειται για τυπογραφικό.Tolaso J Kos έγραψε:Ας δειχθεί ότι: .
Τα κύρια βήματα:
Είναι γνωστό (υπάρχει σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες) και αποδεικνύεται εύκολα από το Θεώρημα De Moivre ότι το είναι πολυώνυμο βαθμού του με πρώτο συντελεστή . Τώρα, για , οι τιμές του για τις οποίες ισχύει είναι οι . Παίρνοντάς τις ανά ζεύγη, έχουμε
άρα από την έπεται
Ο ωραίος αυτός τύπος υπάρχει σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες και είναι γενικότερος του ζητούμενου: Παίρνοντας όριο δίνει το ζητούμενο.
Φιλικά,
Μιχάλης
Edit: Έκανα μικροαλλαγές. Αρχικά παρασύρθηκα από την εσφαλμένη εκφώνηση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Ιούλ 10, 2015 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:03 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύποTolaso J Kos έγραψε:Ας δειχθεί ότι: .
Είναι:
Όμως, , ,
κλπ αντίστοιχα , οπότε η γίνεται:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Νομίζω ότι να παίρνουμε έναν έτοιμο, διόλου γνωστό, τύπο στο ίδιο επίπεδο πληροφορίας με το αποδεικτέο δεν είναι σωστή αντιμετώπιση της άσκησης. Με αυτή την λογική θα λύναμε όλες τις ασκήσεις που ζητούν απόδειξη τύπου απλά με το σχόλιο "είναι σωστός γιατί κάπου τον είδα¨. 'Ετσι όμως δεν βοηθάμε τον αναγνώστη ή τα Μαθηματικά.chris_konst έγραψε: Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
Έχω το ίδιο σχόλιο για την δεύτερη λύση εδώ.
Μ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Ιούλ 10, 2015 11:30 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Ναι, υπάρχει. Ζητώ συγνώμη. Το σωστό είναι όπως βρήκατε και στις δύο λύσεις. Μου φύγαν κάποια νούμερα στις πράξεις.Mihalis_Lambrou έγραψε:Βρίσκω το αριστερό μέλος . Υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα;Tolaso J Kos έγραψε:Ας δειχθεί ότι: .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Μετά την ωραία(και διδακτική) λύση του κ.Μιχάλη,ας δούμε και τη δική μου σκέψη.
Θέτω .
Παρατηρώ ότι ,για κάθε φυσικό.
Πολλαπλασιάζοντας από έως λαμβάνω:
(1).
Τώρα,θεωρώ το πολυώνυμο .Αυτό,ως γνωστόν,έχει ρίζες τις για .Επιπλέον,είναι-σχεδόν-προφανές ότι οι είναι συμμετρικές ως προς τον πραγματικό άξονα(τα τους έχουν άθροισμα και τα μέτρα τους είναι ίσα),συνεπώς οι εικόνες τους ισαπέχουν απ'το (του πραγματικού άξονα).Κατά συνέπεια,προκύπτει ότι .
Επομένως,το αριστερό μέλος της (1) ισούται με και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί(λόγω της (1)).
Θέτω .
Παρατηρώ ότι ,για κάθε φυσικό.
Πολλαπλασιάζοντας από έως λαμβάνω:
(1).
Τώρα,θεωρώ το πολυώνυμο .Αυτό,ως γνωστόν,έχει ρίζες τις για .Επιπλέον,είναι-σχεδόν-προφανές ότι οι είναι συμμετρικές ως προς τον πραγματικό άξονα(τα τους έχουν άθροισμα και τα μέτρα τους είναι ίσα),συνεπώς οι εικόνες τους ισαπέχουν απ'το (του πραγματικού άξονα).Κατά συνέπεια,προκύπτει ότι .
Επομένως,το αριστερό μέλος της (1) ισούται με και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί(λόγω της (1)).
Αντώνης Ζητρίδης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Γινόμενο ημιτόνων
Η απόδειξη του Αντώνη, λίγο πιο αναλυτικά:
Θεωρούμε το πολυώνυμο
του οποίου οι ρίζες είναι οι
Μία από αυτές τις ρίζες είναι το και οι υπόλοιπες είναι ανά δύο συζυγείς.
Άρα
Επειδή
και
προκύπτει
.
Διαιρώντας με προκύπτει
Θέτοντας τώρα βρίσκουμε
η οποία, με χρήση της ταυτότητας δίνει τη ζητούμενη.
Θεωρούμε το πολυώνυμο
του οποίου οι ρίζες είναι οι
Μία από αυτές τις ρίζες είναι το και οι υπόλοιπες είναι ανά δύο συζυγείς.
Άρα
Επειδή
και
προκύπτει
.
Διαιρώντας με προκύπτει
Θέτοντας τώρα βρίσκουμε
η οποία, με χρήση της ταυτότητας δίνει τη ζητούμενη.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 22 επισκέπτες