Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Αν ένα συμπαγές υποσύνολο του και με , τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση , ώστε ο περιορισμός της στο να είναι 1 προς 1.
Σπύρος Καπελλίδης
Λέξεις Κλειδιά:
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Ίσως δεν έχω καταλάβει κάτι καλά, αλλά αν θέσουμε , , θαρρώ πως η έχει τις ζητούμενες ιδιότητες..
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Χωρίς αμφιβολία τις έχει αλλά αυτό δεν απαντά στη γενική περίπτωση.
Φιλικά κι' ας μην έχεις φίλους
Φιλικά κι' ας μην έχεις φίλους
Σπύρος Καπελλίδης
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Σωστά. Η ερώτηση ήταν γενικότερηs.kap έγραψε:Χωρίς αμφιβολία τις έχει αλλά αυτό δεν απαντά στη γενική περίπτωση.
Φιλικά κι' ας μην έχεις φίλους
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Μα αν δεν κάνω λάθος η περιορισμένη στο έχει τις ζητούμενες ιδιότητες (ακόμη και αν το δεν είναι συμπαγές).
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Έχεις δίκιο Δημήτρη, δεν το πρόσεξα ότι ήταν τόσο απλό. Πως μπορεί να απαντηθεί αν στη θέση του συμπαγούς είχαμε έναν συμπαγή μετρικό χώρο ;
Σπύρος Καπελλίδης
Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση
Αυτό το είχαμε συζητήσει παλιότερα με τον dement στο forum του τμήματος Μαθηματικών: Έστω συμπαγής μετρικός χώρος και αριθμήσιμο. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση ώστε για κάθε με .
Η απόδειξη παρακάτω είναι του dement και χρησιμοποιεί μόνο το φραγμένο του χώρου .
Απόδειξη. Εστω φραγμενος μετρικος χωρος με . Εστω αριθμησιμο υποσυνολο του. Οριζουμε .
Για καθε ζευγος και συναρτηση οριζω το λογο μεταβολης
Εστω οποιαδηποτε ακολουθια με και
Οριζουμε αναδρομικα την ακολουθια συναρτησεων ως εξης :
. Εστω η ορισμενη.
Θετουμε και .
Οριζουμε .
Αφου εχουμε (κριτηριο Weierstrass) οτι η συγκλινει ομοιομορφα σε μια συναρτηση . Αφου ολες οι ειναι συνεχεις, θα ειναι και η συνεχης.
Επισης διαπιστωνουμε οτι για καθε με ισχυει
Aπο αυτη τη σχεση αποδεικνυεται επαγωγικα οτι ο περιορισμος της στο ειναι 1-1. Απο αυτο και απο το γεγονος οτι η εχει θετικο γινομενο στο απειρο, συμπεραινουμε οτι που ολοκληρωνει την αποδειξη.
Η απόδειξη παρακάτω είναι του dement και χρησιμοποιεί μόνο το φραγμένο του χώρου .
Απόδειξη. Εστω φραγμενος μετρικος χωρος με . Εστω αριθμησιμο υποσυνολο του. Οριζουμε .
Για καθε ζευγος και συναρτηση οριζω το λογο μεταβολης
Εστω οποιαδηποτε ακολουθια με και
Οριζουμε αναδρομικα την ακολουθια συναρτησεων ως εξης :
. Εστω η ορισμενη.
Θετουμε και .
Οριζουμε .
Αφου εχουμε (κριτηριο Weierstrass) οτι η συγκλινει ομοιομορφα σε μια συναρτηση . Αφου ολες οι ειναι συνεχεις, θα ειναι και η συνεχης.
Επισης διαπιστωνουμε οτι για καθε με ισχυει
Aπο αυτη τη σχεση αποδεικνυεται επαγωγικα οτι ο περιορισμος της στο ειναι 1-1. Απο αυτο και απο το γεγονος οτι η εχει θετικο γινομενο στο απειρο, συμπεραινουμε οτι που ολοκληρωνει την αποδειξη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες