Ανισότητα για θετικούς αριθμούς

Καραδήμας · #1

Δίνονται $x_1,\ldots ,x_n>0$ . Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq \left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2\right )^{1/2}\cdot \exp\left (\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i}{\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2\right )^{1/2}}-1\right ).}$

Nick1990 · #2

Εφαρμοζοντας τη γνωστη ανισοτητα $e^x \geq x + 1$ στον εκθετη του e στο δεξι μελος και απλοποιοντας μετα, το δεξι μελος προκειπτει οτι ειναι μεγαλυτερο η ισο απο απο τον αριθμιτικο μεσο των αριθμων αυτων, ο οποιος με τη σειρα του απο την ανισοτητα του cauchy ειναι μεγαλυτερος η ισος απο τον αντιστοιχο γεωμετρικο μεσο που ειναι το αριστερο μελος.

Καραδήμας · #3

Ναι, η παρατήρηση έχει κάποια αξία γιατί $\displaystyle{\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i}{\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2\right )^{1/2}}-1\leq 0.}$ Αν αυτός ο όρος είναι γνήσια αρνητικός έχεις βελτίωση της ΑΜ-ΓΜ (χωρίς κόπο). Πιό γενικά, αν έχουμε και κάποιους $a_1,\ldots ,a_n>0$ με $\displaystyle{\sum_{i=1}^na_i=1}$ τότε $\displaystyle{\exp \left ( 1-\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\left (\sum_{i=1}^na_ix_i^2\right )^{1/2}}\right )\cdot\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\leq \left (\sum_{i=1}^na_ix_i^2\right )^{1/2}.}$

Ανισότητα για θετικούς αριθμούς

Ανισότητα για θετικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα για θετικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα για θετικούς αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση