Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 16, 2014 3:20 pm

Ψάχνοντας τα αρχεία μου βρήκα αυτό.
Δε πιστεύω ότι είναι δύσκολο, αλλά δεν είναι ούτε και εύκολο. Ελπίζω να σας αρέσει.

Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}\tan^{-1}\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos^2 \theta }}d\theta }

Έγινε αλλαγή του \displaystyle{1} σε \displaystyle{\pi/4}. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Αλγεβριστής
Δημοσιεύσεις: 75
Εγγραφή: Τετ Αύγ 28, 2013 10:07 am
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αλγεβριστής » Τετ Ιαν 22, 2014 5:41 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Ψάχνοντας τα αρχεία μου βρήκα αυτό.
Δε πιστεύω ότι είναι δύσκολο, αλλά δεν είναι ούτε και εύκολο. Ελπίζω να σας αρέσει.

Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}\tan^{-1}\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos^2 \theta }}d\theta }

Έγινε αλλαγή του \displaystyle{1} σε \displaystyle{\pi/4}. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Γράφουμε το τόξο εφαπτομένης ως ολοκλήρωμα και ύστερα με μερικές πράξεις καταλήγουμε στο εξής υπολογίσιμο ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{x} \frac{2cos^2(u)}{4cos^2(u)-1}dudx}.

Για το παραπάνω μπορούν να γίνουν αρκετά τεχνάσματα.
Αν έχει γίνει λάθος σε πράξεις θα επανέλθω αργότερα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 09, 2014 2:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Ψάχνοντας τα αρχεία μου βρήκα αυτό.
Δε πιστεύω ότι είναι δύσκολο, αλλά δεν είναι ούτε και εύκολο. Ελπίζω να σας αρέσει.

Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}\tan^{-1}\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos^2 \theta }}d\theta }

Έγινε αλλαγή του \displaystyle{1} σε \displaystyle{\pi/4}. Συγνώμη για την ταλαιπωρία.
Η κύρια ιδέα είναι αυτή που έγραψε ο Αλγεβριστής.
Θα το κάνω επαναφορά και θα δώσω και μία υπόδειξη.
Eίναι \displaystyle{\tan^{-1} a= \int_{0}^{1}{\frac{a}{1+a^2x^2}}dx}. Η τελική απάντηση είναι \displaystyle{\frac{\pi ^2}{24}}.

Διορθώθηκε τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Φεβ 25, 2014 11:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 23, 2014 3:00 am

Τελευταία επαναφορά.. και μετά θα δώσω τη λύση αν δεν την δώσει κάποιος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 25, 2014 9:43 pm

Μιας και δεν το επέλυσε κάποιος ας γράψω τη λύση. Όμως πρώτα θα δώσω δύο λήμματα, στα οποία θα στηριχτώ.

Λήμμα 1:\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{\left(x^2+1 \right)\sqrt{x^2+2}}=\frac{\pi }{6}}
Απόδειξη:
Είναι
\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x^2+2}(x^2+1)}\overset{x=\sqrt{2}\sinh t\Rightarrow a=\sinh^{-1}\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}{=}\int_{0}^{a}\frac{dt}{1+2\sinh^2 t}=}
\displaystyle{=\int_{0}^{a}\frac{dt}{\cosh 2t}=\int_{0}^{a}\frac{\cosh 2t}{1+\sinh^2 2t}dt=\frac{1}{2}\tanh^{-1}\left ( \sinh2a \right )=}
\displaystyle{=\frac{1}{2}\tanh^{-1}\left ( \sqrt{(1+2\sinh^2 a)^2}-1 \right )=\frac{1}{2}\tanh^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}}

Λήμμα 2:\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\frac{\pi }{2ab(a+b)}}
Απόδειξη:
\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{b^2-a^2}\left ( \frac{1}{x^2+a^2}-\frac{1}{x^2+b^2} \right )dx=\frac{1}{b^2-a^2}\left ( \frac{\pi }{2a}-\frac{\pi }{2b} \right )=\frac{\pi }{2ab(a+b)}}

Επίσης θα χρειαστούμε το γνωστό: \displaystyle{\tan ^{-1}a=\int_{0}^{1}\frac{a}{1+a^2x^2}dx}
==========================

Μετά από αυτά είμαστε έτοιμοι να το υπολογίσουμε. Έχουμε:
\displaystyle{I=\int_{0}^{\pi /4}\tan ^{-1}\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos ^2\theta }}d\theta = \int_{0}^{\pi /4}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos^2 \theta  }}}{1+\left(\frac{\cos 2\theta }{2\cos ^2\theta } \right)x^2}dxd\theta }=
\displaystyle{=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi /4}\frac{\sqrt{1-2\sin ^2\theta }}{2-2\sin ^2\theta +(1-2\sin ^2 \theta )x^2}\sqrt{2}\cos \theta d\theta dx=}
\displaystyle{=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi /4}\frac{\sqrt{1-\sin ^2 \varphi  }}{2-\sin ^2 \varphi+\left(1-\sin ^2\varphi )x^2 \right) }\cos \varphi d\varphi dx=}
\displaystyle{=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi /4}\frac{\cos ^2\varphi }{\sin ^2 \varphi +(x^2+2)\cos ^2\varphi }d\varphi dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi /2}\frac{d\varphi dx}{\tan ^2\varphi +x^2+2}}

Θέτω \displaystyle{y=\tan x} οπότε έχουμε:
\displaystyle{=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty}\frac{dydx}{(y^2+x^2+2)(y^2+1)}=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{1}\frac{dy}{(1+\sqrt{2+y^2})\sqrt{2+y^2}}=}
\displaystyle{=\frac{\pi }{2}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right)=\pi^2 /24}

Διορθώθηκε το τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τρί Φεβ 25, 2014 11:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 25, 2014 10:39 pm

Είχαμε δει παλιότερα ένα παράγωγο του εδώ viewtopic.php?f=9&t=4382. Μπορείτε να δείτε και το τελευταίο λινκ.
Έχει ένα τυπογραφικό παραπάνω ο Τόλης στο αποτέλεσμα \pi^2/24.
Αυτά τα κόξετερ είναι ζόρικα.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Φεβ 25, 2014 10:40 pm

Ακριβώς το ίδιο εδώ viewtopic.php?f=9&t=4050


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα ωραίο ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 25, 2014 11:07 pm

Πράγματι Coxeter's Integral είναι... και είναι πολύ ζόρικο. Αλλά είναι ωραίο.
Μου έβγαλε την πίστη να το γράψω στο \LaTeX. Τουλάχιστον η λύση που έδωσα μου είναι βατή, δηλ. τη καταλαβαίνω.

κ. Βασίλη σας ευχαριστώ για την επισήμανση του τυπογραφικού, καθώς επίσης και για τις παραπομπές...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες