Σημεία ασυνέχειας

#1

Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα [0,1] και παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές, να δειχθεί ότι έχει άπειρα σημεία ασυνέχειας
Σημείωση: Δεν έχω λύση

paulgai · #2

Πολύ όμορφη άσκηση. Θα δώσω μία 'σκιαγράφηση' της λύσης διότι το
τεχνικό κομμάτι είναι μεγάλο. Αρχικά ορίζουμε τη συνάρτηση

$g:[0,1]\to [0,1]$ με $g(x_{1})=x_{2}$ , όπου $x_{1}\neq x_{2}$ με $f(x_{1})=f(x_{2})$ .

Προφανώς η συνάρτηση αυτή είναι καλά ορισμένη με Dom(g)=[0,1]

και

.
Επίσης πρέπει $g(x)\neq x$ για κάθε $x\in [0,1]$ και φυσικά g(g(x))=x

για κάθε $x\in [0,1]$ .
Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι αν η

είναι συνεχής στα $x_{1}, x_{2}$ με $f(x_{1})=f(x_{2})$ ,
τότε η

είναι συνεχής στο $x_{1}$ . Άρα αν η

είναι ασυνεχής στο $x_{1}$ , τότε η

είναι ασυνεχής
είτε στο $x_{1}$ είτε στο $x_{2}$ . Θα δείξουμε ότι η

είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία. Καταρχήν είναι προφανές
ότι η

είναι ασυνεχής σε τουλάχιστον ένα σημείο. Παρατηρούμε ότι $(x,y)\in C_{g}$ αν και μόνο αν $(y,x)\in C_{g}$ ,
άρα αν $x_{1}$ σημείο ασυνέχειας της

, τότε το $g(x_{1})$ θα είναι επίσης σημείο ασυνέχειας της

.
Έστω $x_{1}<g(x_{1})$ , τότε η

δεν μπορεί να είναι συνεχής στο διάστημα $(x_{1},g(x_{1}))$
διότι τα σημεία $(x_{1},g(x_{1}))$ και $(g(x_{1}),x_{1})$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας y=x

που δεν μπορεί να τέμνεται από την $C_{g}$ . Επομένως η

είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία.

mtsarduckas · #3

Πανέμορφη άσκηση και ακόμα πιο όμορφη λύση

. Προσωπικά πάλεψα για ένα δίωρο να δείξω ότι το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της f είναι πεπερασμένο αλλά χωρίς επιτυχία...

#4

Σε ευχαριστώ Paulgal μου έλυσες ένα πρόβλημα που με απασχολούσε καιρό.

#5

paulgai έγραψε: Έστω $x_{1}<g(x_{1})$ , τότε η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο διάστημα $(x_{1},g(x_{1}))$
διότι τα σημεία $(x_{1},g(x_{1}))$ και $(g(x_{1}),x_{1})$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας
που δεν μπορεί να τέμνεται από την $C_{g}$ . Επομένως η είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία.

paulgai, έχω τις επιφυλάξεις μου για τον τελευταίο συλλογισμό. Μπορεί να μη βλέπω κάτι απλό, πάντως δεν το βλέπω.

Λέμε: αρχίζουμε με x1< x2 τετοια ώστε f(x1) = f(x2) και εξετάζουμε το διάστημα (x1, x2). Eκεί έχουμε ασυνέχεια, οπότε βρίσκουμε σημείο ασυνέχειας x3 στο εσωτερικό του. Μεταξύ του x3 και του αντίστοιχου x4 με f(x3)=f(x4) βρίσκουμε νέο σημείο ασυνέχειας και ούτω καθ' εξής. Πες όμως ότι είχαμε x1 < x3 < x2 < x4. Ποιός μου εξασφαλίζει ότι το σημείο ασυνέχειας που θα βρούμε στο (x3, x4) δεν είναι πάλι το x2 ; Γιατί πρέπει να είναι νέο σημείο;

Υποθέτω ότι διορθώνεται αυτό, αλλά κάτι λείπει.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

paulgai · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
paulgai έγραψε: Έστω $x_{1}<g(x_{1})$ , τότε η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο διάστημα $(x_{1},g(x_{1}))$
διότι τα σημεία $(x_{1},g(x_{1}))$ και $(g(x_{1}),x_{1})$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας
που δεν μπορεί να τέμνεται από την $C_{g}$ . Επομένως η είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία.
paulgai, έχω τις επιφυλάξεις μου για τον τελευταίο συλλογισμό. Μπορεί να μη βλέπω κάτι απλό, πάντως δεν το βλέπω.

Λέμε: αρχίζουμε με x1< x2 τετοια ώστε f(x1) = f(x2) και εξετάζουμε το διάστημα (x1, x2). Eκεί έχουμε ασυνέχεια, οπότε βρίσκουμε σημείο ασυνέχειας x3 στο εσωτερικό του. Μεταξύ του x3 και του αντίστοιχου x4 με f(x3)=f(x4) βρίσκουμε νέο σημείο ασυνέχειας και ούτω καθ' εξής. Πες όμως ότι είχαμε x1 < x3 < x2 < x4. Ποιός μου εξασφαλίζει ότι το σημείο ασυνέχειας που θα βρούμε στο (x3, x4) δεν είναι πάλι το x2 ; Γιατί πρέπει να είναι νέο σημείο;

Υποθέτω ότι διορθώνεται αυτό, αλλά κάτι λείπει.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Σωστότατη η παρατήρησή σας κύριε Λάμπρου. Θα προσπαθήσω να
συμπληρώσω το λογικό κενό. Αν

ονομάσω την περιοχή των
σημείων του $[0,1]^{2}$ με x>y

και

την περιοχή των σημείων του
$[0,1]^{2}$ με x<y

, τότε αν $x_{1}<x_{2}=g(x_{1})$ θα ισχύει
$(x_{1},x_{2})\in B$ και $(x_{2},x_{1})\in A$ . Έστω, όπως είπατε,
$x_{3}$ σημείο ασυνέχειας με $x_{1}<x_{3}<x_{2}$ με $g(x_{3})=x_{4}$
και $x_{1}<x_{3}<x_{2}<x_{4}$ . Αν το $(x_{3},x_{4})\in A$ , τότε αφού
το $(x_{1},x_{2})\in B$ θα έχουμε νέο σημείο ασυνέχειας στο διάστημα
$(x_{1},x_{3})$ , αν πάλι το $(x_{3},x_{4})\in B$ τότε αφού το $(x_{2},x_{1})\in A$
θα έχουμε νέο σημείο ασυνέχειας στο διάστημα $(x_{3},x_{2})$ .

Edit: Έγινε διόρθωση σε ένα λάθος που είχα κάνει.

Υ.Γ. Nομίζω ότι αναγκαστικά θα ισχύει $(x_{3},x_{4})\in B$ , αν και αυτό δεν έχει πολύ σημασία.

#7

paulgai έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
paulgai έγραψε: Έστω $x_{1}<g(x_{1})$ , τότε η δεν μπορεί να είναι συνεχής στο διάστημα $(x_{1},g(x_{1}))$
διότι τα σημεία $(x_{1},g(x_{1}))$ και $(g(x_{1}),x_{1})$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας
που δεν μπορεί να τέμνεται από την $C_{g}$ . Επομένως η είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία.
paulgai, έχω τις επιφυλάξεις μου για τον τελευταίο συλλογισμό. Μπορεί να μη βλέπω κάτι απλό, πάντως δεν το βλέπω.

Λέμε: αρχίζουμε με x1< x2 τετοια ώστε f(x1) = f(x2) και εξετάζουμε το διάστημα (x1, x2). Eκεί έχουμε ασυνέχεια, οπότε βρίσκουμε σημείο ασυνέχειας x3 στο εσωτερικό του. Μεταξύ του x3 και του αντίστοιχου x4 με f(x3)=f(x4) βρίσκουμε νέο σημείο ασυνέχειας και ούτω καθ' εξής. Πες όμως ότι είχαμε x1 < x3 < x2 < x4. Ποιός μου εξασφαλίζει ότι το σημείο ασυνέχειας που θα βρούμε στο (x3, x4) δεν είναι πάλι το x2 ; Γιατί πρέπει να είναι νέο σημείο;

Υποθέτω ότι διορθώνεται αυτό, αλλά κάτι λείπει.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου
Σωστότατη η παρατήρησή σας κύριε Λάμπρου. Θα προσπαθήσω να
συμπληρώσω το λογικό κενό. Αν ονομάσω την περιοχή των
σημείων του $[0,1]^{2}$ με και την περιοχή των σημείων του
$[0,1]^{2}$ με , τότε αν $x_{1}<x_{2}=g(x_{1})$ θα ισχύει
$(x_{1},x_{2})\in B$ και $(x_{2},x_{1})\in A$ . Έστω, όπως είπατε,
$x_{3}$ σημείο ασυνέχειας με $x_{1}<x_{3}<x_{2}$ με $g(x_{3})=x_{4}$
και $x_{1}<x_{3}<x_{2}<x_{4}$ . Αν το $(x_{3},x_{4})\in A$ , τότε αφού
το $(x_{1},x_{2})\in B$ θα έχουμε νέο σημείο ασυνέχειας στο διάστημα
$(x_{1},x_{3})$ , αν πάλι το $(x_{3},x_{4})\in B$ τότε αφού το $(x_{2},x_{1})\in A$
θα έχουμε νέο σημείο ασυνέχειας στο διάστημα $(x_{3},x_{2})$ .

Edit: Έγινε διόρθωση σε ένα λάθος που είχα κάνει.

Υ.Γ. Nομίζω ότι αναγκαστικά θα ισχύει $(x_{3},x_{4})\in B$ , αν και αυτό δεν έχει πολύ σημασία.

Νομίζω με αυτήν την διόρθωση η απόδειξη είναι πλέον σωστή.

Ας την γράψω λίγο διαφορετικά. Αρκεί να δείξουμε ότι η

είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία. Ας υποθέσουμε πως αυτό δεν αληθεύει και τα $z_1 < z_2 < \cdots < z_k$ είναι τα μόνα σημεία ασυνέχειας της

.

Αν

τότε, επειδή $(z_1,f(z_1)) \in A$ και $(f(z_{1}),z_{1}) \in B$ θα υπάρχει σημείο ασυνέχειας στο διάστημα (f(z_1),z_1)

, άτοπο.

Άρα z_1 < f(z_1)

. (1)

Αν z_k < f(z_k)

τότε, επειδή $(z_k,f(z_k)) \in B$ και $(f(z_{k}),z_{k}) \in A$ θα υπάρχει σημείο ασυνέχειας στο διάστημα

, άτοπο.

Άρα f(z_k) < z_k

(2)

Από τα (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει $1 \leqslant i \leqslant k-1$ ώστε z_i < f(z_i)

και $z_{i+1} > f(z_{i+1})$ . Αλλά τότε, επειδή $(z_i,f(z_i)) \in B$ και $(z_{i+1},f(z_{i+1})) \in A$ θα υπάρχει σημείο ασυνέχειας στο διάστημα $(z_i,z_{i+1})$ , άτοπο.

Σημεία ασυνέχειας

Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Μέλη σε σύνδεση