βραδυνό ολοκλήρωμα 43

#2

mathxl έγραψε: $\displaystyle \int\frac{cosx+sinx }{\sqrt{sin2x}}dx$

$\displaystyle \int\frac{cosx+sinx }{\sqrt{sin2x}}dx=\int\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1-(1-\sin2x)}}\,dx=\int\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1-(\cos^{2}x-2\cos x\sin x+\sin^{2}x)}}\,dx=-\int\frac{-\cos x-\sin x}{\sqrt{1-(\cos x-\sin x)^{2}}}\,dx=-\int\frac{(\cos x-\sin x){'}}{\sqrt{1-(\cos x-\sin x)^{2}}}\,dx=$

$=-\arcsin(\cos x-\sin x)+c$ .

Καταχθόνιο.....!!!!

#3

Καταρχήν το ολοκλήρωμα ορίζεται σε κάθε διάστημα της μορφής (2κπ,2κπ+π/2), όπου κ ακέραιος.

$\displaystyle I=\int \frac{sinx+cosx}{\sqrt{2sinxcosx}}dx=\int \left( \sqrt{\frac{sin^2x}{2sinxcosx}}+\sqrt{\frac{cos^2x}{2sinxcosx}}\right)dx=$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \left( \sqrt{tanx}}+\sqrt{cotx}}\right)dx$ ,

όπου θέτοντας $u=\sqrt{tanx}$ έχουμε $\displaystyle dx=\frac{2u}{u^4+1}du$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \left( u+\frac{1}{u}\right)\frac{2u}{u^4+1}du=$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{2u(u^2+1)}{u(u^4+1)}du=\sqrt{2}\int \frac{u^2+1}{u^4+1}du=$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int \frac{u^2+1}{u^4+2u^2+1-2u^2}du=\sqrt{2}\int \frac{u^2+1}{(u^2+1-\sqrt{2}u)(u^2+1+\sqrt{2}u)}du=$

$\displaystyle =\sqrt{2}\int \left( \frac{1/2}{u^2+1-\sqrt{2}u}+\frac{1/2}{u^2+1+\sqrt{2}u}\right)du=$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( -\sqrt{2}arctan(1-u\sqrt{2})+\sqrt{2}arctan(1+u\sqrt{2})\right)du$

όπου γυρνώντας πάλι στο x έχουμε ότι:

$\displaystyle I = arctan(1+\sqrt{2tanx})-arctan(1-\sqrt{2tanx})+c$

mathxl · #4

Χεχε η λύση που έχω δει είνα αυτή του Τάσου
Μπράβο σας

βραδυνό ολοκλήρωμα 43

βραδυνό ολοκλήρωμα 43

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 43

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 43

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 43

Μέλη σε σύνδεση