Πηλίκο ημιτόνων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\frac{sin(mx)}{sinx}$ με m ακέραιο. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία τοπικών ακροτάτων της f δινονται από την εξίσωση mσυν(mx)ημx=ημ(mx)συνx και να συμπεράνετε ότι $sin^{2}(mx)\leq m^{2}sin^{2}x$ .

Υ.Γ.Μπορει να μην στεκεται στο ύψος μιας Ολυμπιάδας αλλά ενδεχομένως για ενα μαθηματικό διαγωνισμό..

Μετά από την εύστοχη παρατηρηση του Δημητρη Σκουτερη ότι για περιττες τιμες του m δεν οριζεται η εφαπτομένη διορθωσα το επίμαχο σημειο.Ευχαριστώ Δημήτρη.

#2

Αν

ή

, η άσκηση προκύπτει εύκολα. Έστω, λοιπόν, $m\ne -1, 0, 1$ .

Το πεδίο ορισμού της

είναι το $D=\{x\in \mathbb{R}: x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$ .
Η

είναι παραγωγίσιμη στο

με

$\displaystyle{f'(x)=\frac{g(x)}{\sin^2 x}}$

όπου $\displaystyle{g(x)=m\cos(mx)\sin x- \sin(mx) \cos(x)}$ .

Για κάθε

στο

έχουμε $\displaystyle{g'(x)=(1-m^2)\sin (mx)\sin x}$

Αν ο

είναι στο

τέτοιος ώστε g(r)=0

, τότε $g'(r)\ne 0$ .

(Πράγματι, είναι $(1-m^2)\sin r \ne 0$ , οπότε αν g'(r)= 0

, τότε θα πρέπει $\sin (mr)=0$ . Αλλά τότε $0=g(r)=m\cos(mr)\sin(r) =\pm m\sin(r) \ne 0$ , άτοπο).

Άρα υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε η g '

έχει σταθερό πρόσημο στο $(r-\delta, r+\delta)$ . Δηλαδή, ή g'(x)>0

για κάθε $r-\delta<x<r+\delta$ ή g'(x)<0

για κάθε $r-\delta<x<r+\delta$

Στην πρώτη περίπτωση, όπου η g είναι γνησίως αύξουσα στο $(r-\delta,r+\delta)$ , παίρνουμε $f'(x)\geq 0$ για κάθε $r-\delta<x \leq r$ , και $f'(x)\leq 0$ για κάθε $r\leq x< r+\delta$ .

Ετσι η

έχει τοπικό μέγιστο στο x=r

.

Στη δεύτερη περίπτωση, όπου η g είναι γνησίως φθίνουσα στο $(r-\delta,r+\delta)$ , η

έχει τοπικό ελάχιστο στο x=r

.

Συνεπώς, δείξαμε ότι τα σημεία τοπικών ακροτάτων της

δίνονται από τις λύσεις στο

της

.

Σημείωση: Η ανισότητα $|\sin(mx)/\sin x|\leq m$ αποδεικνύεται πολύ εύκολα με επαγωγή στο

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πηλίκο ημιτόνων

Πηλίκο ημιτόνων

Re: Πηλίκο ημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση