Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Ικανή και αναγκαία συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Παρ Οκτ 02, 2009 1:57 pm

Μια κυρτή f είναι και συνεχής όπως πολύ εύστοχα παρατηρησε ο κ.Μαυρογιάννης σε προηγούμενη δημοσίευση μου. Βαζοντας μια συνθήκη για την f μπορούμε να δημιουργήσουμε ικανή και αναγκαια συνθηκη ώστε η f να είναι κυρτή.
Ασκηση
Έστω f:(α, β) \displaystyle{ 
 \to  
} R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι κυρτή, αν και μονο αν για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς γ, δ η συνάρτηση f(x)+γx+δ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (α, β).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 03, 2009 2:15 am

Στράτο νομίζω ότι η άσκηση είναι κατά το ήμισυ σωστή. Συγκεκριμένα η συνθήκη κυρτότητας είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία.
Ισχύει:
Αν f:(\alpha, \beta) \to \mathbb{R} είναι κυρτή τότε για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς \gamma ,\delta η συνάρτηση f\left( x\right) +\gamma x+\delta δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο \left( \alpha ,\beta \right)
Απόδειξη: Θα αποδείξουμε πρώτα ότι μία κυρτή συνάρτηση h ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστη τιμή. Ας πούμε πως έχει στο x_0. Επιλέγουμε x_{1},x_{2} ώστε x_{1}<x_{0}<x_{2}. Τότε
\frac{h\left( x_{0}\right) -h\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}}\geq 0\geq \frac{h\left( x_{2}\right) -h\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}} (1)
Αλλά αφού η συνάρτηση h είναι κυρτή πρέπει
\frac{h\left( x_{2}\right) -h\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}}<\frac{h\left( x_{0}\right) -h\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}} (2)
πράγμα αδύνατο. Αρα η h δεν έχει μέγιστο.
Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αν η f είναι κυρτή τότε και η h\left( x\right) =f\left( x\right) +\gamma x+\delta είναι κυρτή. Πράγματι με x_{1}<x_{2} και p,q\in \left( 0,1\right) με p+q=1 έχουμε:
h\left( px_{1}+qx_{2}\right) =f\left( px_{1}+qx_{2}\right) +\gamma \left( px_{1}+qx_{2}\right) +\delta <pf\left( x_{1}\right) +qf\left( x_{2}\right) +\gamma \left( px_{1}+qx_{2}\right) +\delta =pf\left( x_{1}\right) +qf\left( x_{2}\right) +p\gamma x_{1}+q\gamma x_{2}+p\delta +q\delta =ph\left( x_{1}\right) +qh\left( x_{2}\right)
'Αρα h\left( px_{1}+qx_{2}\right) <ph\left( x_{1}\right) +qh\left( x_{2}\right) και επομένως η h είναι κυρτή.
Τώρα αφού η h είναι κυρτή σε ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστο.
ΣΧΟΛΙΟ: Η συνέχεια της f δεν χρησιμοποιήθηκε.
Δεν ισχύει:
Αν f:(\alpha, \beta) \to \mathbb{R} και για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς \gamma ,\delta η συνάρτηση f\left( x\right) +\gamma x+\delta δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο \left( \alpha ,\beta \right) τότε η f είναι κυρτή.
Αντιπαράδειγμα: 'Εστω η συνάρτηση f\left( x\right) =\varepsilon \varphi x,\,\,x \in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right). Η f είναι συνεχής και η συνάρτηση \varepsilon \varphi x+\gamma x+\delta στο -\frac{\pi }{2} έχει όριο το -\infty ενώ στο \frac{\pi }{2} έχει όριο +\infty. Επομένως στο \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) δεν έχει μέγιστο. Αλλά η \varepsilon \varphi x στο \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) δεν είναι κυρτή.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3231
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 11, 2017 11:56 pm

Το σωστό κριτήριο κυρτότητας που έχει σχέση με τα παραπάνω είναι:

Εστω f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση.

Η f είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε a< c< d< b και \kappa ,\lambda \in \mathbb{R}

η συνάρτηση g:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=f(x)+\kappa x+\lambda δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (c,d)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης