Ελάχιστη τιμή κυρτής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Ελάχιστη τιμή κυρτής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Πέμ Οκτ 01, 2009 7:09 pm

Ασκηση
Αν f:R\rightarrow R κυρτή συνάρτηση και υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β, γ με α < β < γ ώστε f(\beta )\leq min\left\{f(a), f(\gamma ) \right\}, τότε η f παίρνει ελάχιστη τιμή για κάποιο ξ \in (a, \gamma ).



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Οκτ 01, 2009 8:43 pm

Εφόσον η f είναι κυρτή, η πλευρική παράγωγος \displaystyle{{f'}_+} είναι αύξουσα συνάρτηση:
f'_+(x) \leq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq f'_+(y) (*), για κάθε x<y

Για \alpha < \beta<\gamma έχουμε f(\beta)\leq f(\alpha)\leq f(\gamma) ή f(\beta)\leq f(\gamma)\leq f(\alpha),
που σημαίνει ότι η f δεν είναι μονότονη στο (\alpha,\gamma).

Συνεπώς, από (*), υπάρχει \xi \in (\alpha,\gamma), τέτοιο ώστε f'_+(x)\leq 0 για κάθε x \in (\alpha,\xi] και f'_+(x)\geq 0 για κάθε x \in [\xi,\gamma).

Άρα, η f είναι φθίνουσα στο (\alpha,\xi] και αύξουσα στο [\xi,\gamma) και το συμπέρασμα έπεται.

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4307
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Οκτ 02, 2009 9:23 am

Καλή σας μέρα
Μια άλλη προσέγγιση: Αφού η f είναι κυρτή είναι και συνεχής (δείτε και viewtopic.php?f=5&t=99&hilit=%CE%BA%CF% ... F%84%CE%AE). Επομένως στο διάστημα \left[ \alpha ,\gamma \right] παρουσιάζει ελάχιστο. Από την υπόθεση το ελάχιστο είναι μικρότερο ή ίσο των f\left( \alpha \right) ,\,f\left( \beta \right) ,\,f\left( \gamma \right) άρα θα παρουσιάζεται και στο εσωτερικό του διαστήματος \left[ \alpha ,\gamma \right].
Μαυρογιάννης


Η απόδειξη χρειάζεται ένα επιπλέον επιχείρημα. Βλ. τα μήνυματα του Στράτου Παπαδόπουλου και του Aχιλλέα παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Δευ Οκτ 05, 2009 12:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Παρ Οκτ 02, 2009 9:45 am

Καλημέρα,
Ακαταμάχητες λύσεις!! τόσο η πανεπιστημιακη προσέγγιση όσο και η σχολική προσέγγιση Σας ευχαριστώ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Δευ Οκτ 05, 2009 10:55 am

Καλημέρα,
ξανακοιτώντας την λύση του κ.Μαυρογιάννη θα ήθελα να επισημάνω το εξής:
Η f ως κυρτή αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής στο εσωτερικό του [α, γ] και όχι κατα αναγκη στα άκρα.επομένως υποψιάζομαι ότι δεν μπορουμε να ισχυριστούμε ότι έχει ελάχιστο.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Οκτ 05, 2009 11:21 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: Η f ως κυρτή αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής στο εσωτερικό του [α, γ] και όχι κατα αναγκη στα άκρα.επομένως υποψιάζομαι ότι δεν μπορουμε να ισχυριστούμε ότι έχει ελάχιστο.
Αυτό διορθώνεται εύκολα. Κατά βάση η λύση του κ. Μαυρογιάννη είναι σωστή.

Αρκεί να θεωρήσουμε c<\alpha<\gamma<d. Από την υπόθεση, η f είναι κυρτή στο (c,d) και άρα συνεχής στο [\alpha,\gamma].
Τα υπόλοιπα παραμένουν ίδια.

Αν η υπόθεση ήταν ότι η f ορίζεται και είναι κυρτή στο [\alpha,\gamma] αντί για όλο το \mathbb{R}, τότε πράγματι, δεν θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι συνεχής στο [\alpha,\gamma].

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Οκτ 05, 2009 1:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4307
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Οκτ 05, 2009 12:45 pm

Στράτο έχεις δίκιο. Χρειάζεται κάποιο μερεμέτι. Σε ευχαριστώ για την επισήμανση. Ευχαριστώ και τον Αχιλλέα που έκανε την επισκευή της απόδειξης.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες