Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Τετ Σεπ 23, 2009 3:32 pm

Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε \displaystyle{ 
\pi  < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 
}.

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12667
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 23, 2009 4:41 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε \displaystyle{ 
\pi  < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 
}.

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!
Ναί είναι ωραία άσκηση. Αν θυμάμαι καλά την έχω στο βιβλίο μου, αλλά την πήρα από τον Hardy, Pure Mathematics, άσκηση 31 σελίς 277.

Βάζω και μία παρεμφερή αλλά πολύ ευκολότερη (μονολεκτική απάντηση): x(1-x)sin(πx) \le 1/4 sto [0,1]

(έκανα μία αλλαγή -διόρθωση- στην τελευταία γραμμή)


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2246
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Σεπ 23, 2009 6:54 pm

Αν θέλουμε να αποφύγουμε τα τρικ κάνουμε πίνακα μονοτονίας για την \displaystyle{f(x)=sin(\pi x)-\pi x(1-x)}} ξεκινώντας από την τρίτη παράγωγο και προσέχοντας τις τιμές της f και των παραγώγων της στα 0 , 1/2 , 1

Δυστυχώς λόγω απροσεξίας sinb<b αρα η λύση με το τρικ είναι ΛΑΘΟΣ και γιαυτό την σβήνω
Noμίζω όμως ότι μπορεί να σωθεί με μια μικρή αλλαγή


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 467
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Πέμ Σεπ 24, 2009 8:22 pm

Kαλησπέρα μετα την υπόδειξη του κ Μπόρη,
f'(x)=πσυν(πχ)-π(1-2χ), f ''(x)=π(2-πημ(πχ)), f'''(x)=-\pi ^{3}\sigma \upsilon \nu \left(\pi x \right).Διαπιστώνουμε ότι η τριτη παραγωγος ειναι θετικη για χ στο [1/2, 1) και αρνητικη στο (0,1/2) δηλαδή η f'' γνησιως φθινουσα στο (0,1/2) και γνησιως αυξουσα στο (1/2,1). Ομως δεν μπορω να προσδιορισω το προσημο της f '' αφού f''\left(\frac{1}{2} \right)=\pi \left(2-\pi  \right)<0, f''(0)=2\pi >0 , f''(1)=2\pi >0 και η μονοτονια της f'' δεν βοηθα...κατι δεν μου παει καλά , οποιος εχει λιγο χρονο ας ριξει μια ματιά.Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2246
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Σεπ 24, 2009 10:40 pm

Τελικά μάλλον μπορώ να εξηγήσω γιατί το τεχνασμα δεν έπιασε
Στηριζόμουν στην \displaystyle{ sin(\pi x)>2x} Αυτή προέρχεται από την κυρτότητα (sinx= η συνάρτηση 2x/π η χορδή της) η οποία καθορίζεται από το ακρότατο της =1 στο π/2 και το αρχικό σημείο (0,0). Φαντάστηκα ότι με χρήση μόνο αυτής και με την συμμετρία ως προς την x=1/2 κάτι θα προέκυπτε Αν όμως αντί της f έφτιαχνα πχ την \displaystyle{f^{1/3}} αυτή θα είχε την ίδια χορδή αλλά θα ήταν πιο "φουσκωμένη" οπότε θα άλλαζε το κάτω φράγμα π ή θα χρειαζόταν βοήθεια από άλλη ανισότητα που δεν θα στηριζόταν στην κυρτότητα
Clipboard04.png
Clipboard04.png (2.73 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12667
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 24, 2009 11:40 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε \displaystyle{ 
\pi  < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 
}.

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!

Για την αριστερή ανισότητα: Λόγω συμμετρίας περί τον άξονα χ = 1/2 αρκεί να εργαστούμε μόνο στο (0, 1/2].

Ορίζουμε f(x) = sin(πx) - πx(1-x) στο [0,1/2].
Είναι f '(x) = π(cos(πx) - (1-2x)) . Καθώς η cos(πx) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ενώ
οι cos(πx) και 1-2x διέρχονται και οι δύο από τα σημεία (0,1), (1/2, 0) σημαίνει ότι η y = 1-2x είναι χορδή της y = cos(πx) η οποία βρίσκεται εξ ολοκλήρου κάτω από την καμπύλη. Συνεπώς f '(x) θετική και f αύξουσα. Άρα για x > 0 είναι sin(πx) - πx(1-x) > 0, που δίνει την αριστερή ανισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2246
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Σεπ 25, 2009 8:33 am

είναι στο \displaystyle{(0.1/2]} λόγω συμμετρίας \displaystyle{(fx)=f(1-x))}
\displaystyle{f'''(x)=\pi ^3cos(\pi x)} εύκολα πρόσημο και ρίζες
\displaystyle{f'' \downarrow ,f''(0)>0,f''(1/2)<0} υπάρχει μοναδικό \displaystyle{a:f''(a)=0} άρα εύκολο πρόσημο
\displaystyle{f'  \uparrow ,0<x\le a,f'(0)=0} άρα εύκολο πρόσημο και \displaystyle{f'  \downarrow ,a<x\le 1/2 ,f'(1/2)=0} άρα εύκολο πρόσημο
\displaystyle{f \uparrow ,0<x\le1/2,f(0)=0}
Clipboard05.png
Clipboard05.png (3.83 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές
Κλασικός τρόπος που προσπάθησα να συντομεύσω με κυρτότητα και το έκανε ο Μιχάλης τον οποίο και ευχαριστώ


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Σεπ 25, 2009 12:07 pm

Μια λύση της άσκησης υπάρχει στο βιβλίο "Problems in Mathematical Analysis II", W.J. Kaczor, M.T.Nowak, AMS.
Είναι το πρόβλημα 2.5.29, σελ. 72.

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης