mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 17, 2012 2:36 am**

Έστω η ακολουθία $\left\{a_n\right\}$ με a_1=1

και, για $\displaystyle{n>1,\quad a_n=1+\frac{2}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n-1} ka_k\right)}$ . Ας βρεθεί ο τύπος της a_n

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 17, 2012 4:44 pm**

Θέτω $\displaystyle{na_n=b_n}$ τότε $\displaystyle{(n+1)b_{n+1}-nb_n=(n+1)^2-n^2+\sum_{k=1}^{n}{ka_k}-\sum_{k=1}^{n-1}{ka_k}=2n+1+b_n}$ οπότε

$\displaystyle{(n+1)b_{n+1}=2n+1+(n+1)b_n\Rightarrow b_{n+1}=2-\frac{1}{n+1}+b_n\Rightarrow b_{n+1}-b_1=2n-\sum_{k=1}^{n}{1/(k+1)}}$ Δηλαδή

$\displaystyle{a_{n+1}-a_1=\frac{\sum_{k=1}^{n}{1/(k+1)}}{n+1}}$ άρα

$\displaystyle{a_n=1+\frac{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k+1}}}{n},n>1, a_1=1}$

mathematica.gr

Αναδρομική ακολουθία (6)

Αναδρομική ακολουθία (6)

Re: Αναδρομική ακολουθία (6)