Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Απρ 17, 2012 11:33 am

Αν η \displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}} είναι μονότονη και η \displaystyle{F:\Bbb{R} \to \Bbb{R}, F(x)=\int_0^xf(t)dt } είναι παραγωγίσιμη,

να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής.

(Ρουμάνικη Ολυμπιάδα)


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Συνάρτηση ολοκληρώσιμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Απρ 20, 2012 11:59 pm

Έστω ότι η f είναι αύξουσα και έστω x\in \mathbb R. Τότε, για x<t<s έχουμε \displaystyle \frac{F(s)-F(t)}{s-t}=\frac{1}{s-t}\int_t^s f\geq f(t). Αφήνοντας το t\downarrow x παίρνουμε \displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\geq f(x+). Όμοια δείχνουμε ότι \displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\leq f(x-) για s<x.

Καθώς, η F είναι παραγωγίσιμη στο x προκύπτει ότι f(x-)=f(x+).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 4 επισκέπτες