Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Δευ Απρ 16, 2012 4:31 pm

4. Έστω (c_n) ακολουθία αριθμών και S_m(x)=\sum_{k=1}^m c_k\cos (k\pi x) για m=1,2,\ldots. Για κάθε N\in \mathbb N ισχύει: \displaystyle \int_{-1}^1 \max_{1\leq m\leq N}|S_m(x)|^2\, dx\leq C \log^2N \sum_{m=1}^N|c_m|^2, όπου C>0 είναι μια απόλυτη σταθερά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2181
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 27, 2019 6:27 pm

peter έγραψε:
Δευ Απρ 16, 2012 4:31 pm
4. Έστω (c_n) ακολουθία αριθμών και S_m(x)=\sum_{k=1}^m c_k\cos (k\pi x) για m=1,2,\ldots. Για κάθε N\in \mathbb N ισχύει: \displaystyle \int_{-1}^1 \max_{1\leq m\leq N}|S_m(x)|^2\, dx\leq C \log^2N \sum_{m=1}^N|c_m|^2, όπου C>0 είναι μια απόλυτη σταθερά.
Επαναφορά.

Μια σημείωση.
Η ανισότητα χωρίς το  \log^2N είναι στην ουσία το θεώρημα του Carleson
(η σειρά Fourier μιας L^{2} συνάρτησης συγκλίνει σχεδόν παντού στην συνάρτηση)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2181
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 28, 2019 9:40 pm

Θα διατυπώσω το πρόβλημα στο [-\pi ,\pi ]
(για να υπάρχουν οι στάνταρ συμβολισμοί)

Εστω f(x)=\sum_{k=1}^{N}a_{k}\cos kx

όπου a_{k}\in \mathbb{R} και N φυσικός

Θέτουμε s_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\cos kx,1\leq m\leq N

και μετά  S(x)=max\left \{ |s_{m}(x)|:1\leq m\leq N \right \}

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει απόλυτη σταθερά C>0
ώστε

\int_{-\pi }^{\pi }S^{2}(x)dx\leq C\log ^{2}N\int_{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)dx

(είναι \int_{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)dx=\pi \sum_{k=1}^{N}a_{k}^{2})


ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Ο πυρήνας του Dirichlet είναι

D_{k}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{k}\cos kx=\frac{\sin (k+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{x}{2}}

εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει

D_{N}(x)\leq min(N+\frac{1}{2},\frac{\pi }{2|x|})(1)

Επίσης είναι εύκολο να δούμε ότι

s_{m}(x)=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_{m}(t)dt=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(t)D_{m}(x-t)dt(2)

Ειναι φανερό από τον ορισμό του S(x) οτι υπάρχει μια συνάρτηση

\eta :[-\pi ,\pi ]\rightarrow \left \{ 1,2,...N \right \}

ώστε S^2(x)=s^2_{\eta (x)}(x)

Θα χρειαστούμε ότι \int_{-\pi }^{\pi }|D_{n(x)}(x)|dx\leq C\ln N (3)

που προκύπτει λόγω της (1) ως εξής

\int_{-\pi }^{\pi }|D_{n(x)}(x)|dx=\int _{|x|< \frac{1}{N}}+\int _{|x|\geq \frac{1}{N}}\leq C\ln N

Συνεχίζεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2181
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 28, 2019 10:53 pm

Συνέχεια
Είναι
\int_{-\pi }^{\pi }S^{2}(x)dx=\int_{-\pi }^{\pi }s_{\eta (x)}^{2}(x)dx=\int_{-\pi }^{\pi }s_{\eta (x)}(x)s_{\eta (x)}(x)dx

=\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi } \int_{-\pi }^{\pi }f(t)D_{\eta (x)}(x-t)dt\int_{-\pi }^{\pi }f(s)D_{\eta (x)}(x-s)dsdx

\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(t)f(s)(\int_{-\pi }^{\pi } D_{\eta (x)}(x-t)D_{\eta (x)}(x-s)dx)dsdt

Χρησιμοποιώντας την f(t)f(s)\leq \frac{f^2(t)+f^2(s)}{2}
το προηγούμενο ολοκλήρωμα είναι μικρότερο η ίσο από δύο ολοκληρώματα.
το πρώτο από αυτά είναι

\frac{1}{\pi ^{2}}\int_{-\pi }^{\pi }f^2(t)(\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }| D_{\eta (x)}(x-t)||D_{\eta (x)}(x-s)|dxds) dt(5)

και ανάλογο το δεύτερο .

Αλλά
\int_{-\pi }^{\pi }\int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)||D_{\eta (x)}(x-s)|dxds= \int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|\int_{-\pi }^{\pi }|D_{\eta (x)}(x-s)|dsdx

το τελευταίο χρησιμοποιώντας την (3)είναι μικρότερο η ίσο από

\int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|\int_{-\pi }^{\pi }|D_{\eta (x)}(x-s)|dsdx\leq
 \int_{-\pi }^{\pi } |D_{\eta (x)}(x-t)|C\log Ndx \leq C_{1}\log^2 N

Η τελευταία αν αντικατασταθεί στην (5) και την ανάλογη της μας δίνει την ζητούμενη.

Να σημειώσω ότι με λίγη τροποποίηση η παραπάνω απόδειξη μπορεί να δώσει
\log N αντί \log^2 N
Για να γίνει αυτό χρειάζεται η σχέση
\left \| f \right \|_{2}=sup\left \{ \int_{-\pi }^{\pi }fg:\left \| g \right \|_{2} \leq 1\right \}

σημείωση.Εγιναν κάποιες βελτιώσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες