Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Δευ Απρ 16, 2012 3:23 pm

3. Έστω (c_n) φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με nc_n\leq A για n=1,2,\ldots και κάποια σταθερά A>0. Δείξτε ότι για κάθε n\in \mathbb N και για κάθε x\in \mathbb R ισχύει: \displaystyle \left|\sum_{k=1}^n c_k\sin kx \right|\leq A(\pi +1).



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2321
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιαν 30, 2019 10:55 am

Επαναφορά


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2321
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικές εκτιμήσεις 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 12, 2019 2:19 pm

[quote=peter post_id=125614 time=1334579009 user_id=1354]
3. Έστω (c_n) φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με nc_n\leq A για n=1,2,\ldots και κάποια σταθερά A>0. Δείξτε ότι για κάθε n\in \mathbb N και για κάθε x\in \mathbb R ισχύει: \displaystyle \left|\sum_{k=1}^n c_k\sin kx \right|\leq A(\pi +1).
[/quote]

Είναι φανερό ότι μπορούμε να περιοριστούμε σε 0<x<\pi

Βρίσκουμε φυσικό N ώστε \frac{\pi }{N+1}\leq x< \frac{\pi }{N}

Το άθροισμα το γράφουμε

\sum_{k=1}^{n}=\sum_{k=1}^{N}+\sum_{k=N+1}^{n}

Κάνοντας τριγωνική και χρησιμοποιώντας ότι |\sin x|\leq |x|
έχουμε

|\sum_{k=1}^N c_k\sin kx| \leq \sum_{k=1}^N c_k kx \leq ANx \leq A\pi

Το δεύτερο είναι πιο μπελαλίδικο.

Για m\geq N+1

Θετουμε D_{m}=\sum_{k=N+1}^{m}\sin kx=\frac{\cos (N+\frac{1}{2})x-\cos (m+\frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}

Αυτό που χρειαζόμαστε είναι το προφανές |D_{m}|\leq \frac{1}{\sin \frac{x}{2}}

Το δεύτερο άθροισμα το γράφουμε c_{N+1}D_{N+1}+\sum_{k=N+2}^{n}c_{k}(D_{k}-D_{k-1})

Κάνοντας άθροιση κατά μέρη και παίρνοντας απόλυτες τιμές έχουμε

|\sum_{k=N+1}^n c_k\sin kx| \leq
 |D_{N+1}|(c_{N+1}-c_{N+2})+|D_{N+2}|(c_{N+2}-c_{N+3})+...+|D_{n-1}|(c_{n-1}- c_{n})+|D_{n}|c_{n}
 \leq c_{N+1}\frac{1}{\sin \frac{x}{2}}

Αλλά \sin \frac{x}{2}\geq \frac{2}{\pi }\frac{x}{2}\doteq \frac{x}{\pi }\geq \frac{1}{N+1}

Από την προηγούμεν λαμβάνοντας υπ οψιν την τελευταία παίρνουμε ότι το δεύτερο άθροισμα σε απόλυτη τιμή
είναι μικρότερο η ισο από

(N+1)c_{N+1}\leq A

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες