Όριο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 16, 2012 8:11 am
Έστω 
μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε το 
να υπάρχει και να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι
μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε το να υπάρχει και να είναι πεπερασμένο. Να αποδειχθεί ότι
, από Cauchy-Schwarz έχουμε 
![\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x \sqrt{f(t)} \, dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{\sqrt[3]{x}} \sqrt{f(t)} \, dt + \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\int_0^{\infty} f(t) \, dt} + \sqrt{\int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/67c0f081e8582b64693a6727adfae29b.png "\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x \sqrt{f(t)} \, dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{\sqrt[3]{x}} \sqrt{f(t)} \, dt + \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\int_0^{\infty} f(t) \, dt} + \sqrt{\int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt}}")
το οποίο τείνει στο 0.