Όριο

ipaper · #1

Έστω $f: [0, + \infty) \rightarrow (0, +\infty)$ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε το $\lim_{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x}f(t)\,dt$ να υπάρχει και να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt {x}}\int_{0}^{x}\sqrt {f (t)}\,dt = 0.$

#2

Για κάθε $0 \leqslant a < b$ , από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle{ \int_a^b \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{(b-a)\int_a^b f(t) \, dt}.}$

Επομένως έχουμε $\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x \sqrt{f(t)} \, dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{\sqrt[3]{x}} \sqrt{f(t)} \, dt + \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\int_0^{\infty} f(t) \, dt} + \sqrt{\int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt}}$ το οποίο τείνει στο 0.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση