mathematica.gr

βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει .

Για κάθε τέτοια ορίζουμε ένα κατευθυνόμενο γράφημα με σύνολο κορυφών το όπου έχουμε μια κατευθυνόμενη ακμή από το στο αν και μόνο αν . Παρατηρούμε από το δεδομένο ότι το γράφημα είναι ένωση κύκλων μήκους είτε 1 (σταθερά σημεία) είτε 3 με κάθε να ανήκει σε ακριβώς ένα κύκλο. Αντιστρόφως κάθε κατευθυνόμενο γράφημα στο που είναι ένωση κύκλων μήκους 1 ή 3 με κάθε να ανήκει σε ακριβώς ένα κύκλο, η συνάρτηση που ορίζεται από αν το είναι το μοναδικό στοιχείο του για το οποίο υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από το , έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

ipaper έγραψε:βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει .

Το ίδιο πράγμα λέω με τον Δημήτρη αλλά κάπως διαφορετικά

Οι συνεχείς λύσεις της παραπάνω συναρτησιακής είναι εύκολο να βρεθούν :

Η εύκολα αποδεικνύεται 1-1 και λόγω της συνέχειας θα είναι γνησίως μονότονη.

Από τη δεδομένη σχέση, εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Θα αποδείξουμε ότι .

Έστω ότι για κάποιο έχουμε

, άτοπο.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι .

Τώρα για τις μη συνεχείς λύσεις τα πράγματα γίνονται κάπως "σκούρα"

Σίγουρα είναι άπειρες και μάλιστα υπεραριθμήσιμα άπειρες.

Ένας τρόπος παραγωγής τέτοιων λύσεων (Τον είπε και ο Δημήτρης) είναι να πάρουμε έναν οποιονδήποτε πραγματικό

και να ορίσουμε την στον κύκλο ως εξής και εκτός του κύκλου .

Έτσι έχουμε υπεραριθμήσιμα άπειρες λύσεις (πλήθος ίσο με αυτό του συνεχούς), αλλά είναι οι μοναδικές;