Μέγιστη τιμή

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Μέγιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios » Κυρ Μαρ 04, 2012 7:09 pm

Έστω f:[a,b]\longrightarrow[{0,\infty}) συνεχής και M:=\max{f(x)}. Nα αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{\lim_{p\to\infty}\Bigl({\int_{a}^{b}f^p(x)\,dx}\Bigr)^\frac{1}{p}=M\,.}

Μάλλον θέμα ρουτίνας, από κάποιο πανεπιστήμιο της Ιταλίας, αν το έχουμε ξανασυζητήσει να διαγραφεί.


Η.Γ

Λέξεις Κλειδιά:
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Δευ Μαρ 05, 2012 6:03 pm

Αν f(x)=0 για κάθε x\in [a,b] τότε η ισότητα προφανώς ισχύει.

Αν η f δεν είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε M>0 .
Υπάρχει x_0\in [a,b] τέτοιο, ώστε f(x_0)=M.

Αν x_0\in (a,b) τότε για κάθε t , με 0<t<M ισχύει ότι:

Υπάρχει \epsilon >0 , για κάθε x\in (x_0-\epsilon , x_0+\epsilon )\subset [a,b] , είναι f(x)>t .

Επομένως, για p\geq 1 έχουμε:

\displaystyle (2\epsilon )^{\frac{1}{p}}t = \left(\int_{x_0-\epsilon}^{x_0-\epsilon}t^p\;dx\right)^{\frac{1}{p}} < \left(\int_{x_0-\epsilon}^{x_0-\epsilon}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq

\displaystyle \left(\int_{a}^{b}M^{p}\;dx\right)^{\frac{1}{p}} = M(b-a)^{\frac{1}{p}}

Αν x_0=a ή x_0=b όμοια έχουμε ότι: \displaystyle  \epsilon ^{\frac{1}{p}}t \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq M(b-a)^{\frac{1}{p}}

Άρα για κάθε πραγματικό t με 0<t<M , υπάρχει \epsilon >0 , ώστε: \displaystyle  \epsilon ^{\frac{1}{p}}t \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq M(b-a)^{\frac{1}{p}}

Παίρνοντας όρια για p\to\infty και t\to M έχουμε \displaystyle  \lim_{p\to\infty}\left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} = M .

Το προηγούμενο μας λέει ότι:

Για τους χώρους με νόρμα \left(\mathcal{C}[a,b],\|\cdot\|_{p}\right)} και \left(\mathcal{C}[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right)} ισχύει \displaystyle  \lim_{p\to\infty}\|f\|_p = \|f\|_{\infty} .


Στράτης Αντωνέας
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες