Θέμα 53

ghan · #1

Να βρεθεί μια συνεχής συνάρτηση $f:\left[ 0,1 \right]\to \left[ 0,1 \right]$ τέτοια, ώστε $\forall y\in \left[ 0,1 \right]$ να υπάρχουν άπειρα $x\in \left[ 0,1 \right]$ με f(x)=y

.

(Εαρινό εξάμηνο 1999-2000

τμήματος Μαθηματικών Κρήτης)

#2

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} \bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}\,, & 0<x\leqslant1\vspace{0.2cm}\\ 1\,, & x=0 \end{array}}\right.$ είναι συνεχής στο ({0,1}]

σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και επειδή

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}f(x)\,{\color{red}=1}\quad{\color{red}(*)}$ δεν είναι συνεχής στο [{0,1}]

.

Επειδή $f\bigr({\tfrac{1}{2\nu}}\bigr)=0$ και $f\bigr({\tfrac{1}{2\nu+1}}\bigr)=1$ , για $\nu\in\mathbb{N}$ , και η συνάρτηση

είναι συνεχής, παίρνει στο [{0,1}]

, άπειρες φορές οποιαδήποτε τιμή $y\in[{0,1}]\,.\quad\square$

$\color{red}(*)$ edit: 20/2/2012, 08:56 Για την ακολουθία $\frac{1}{2\nu}$ (που χρησιμοποιώ και ο ίδιος παραπάνω) ισχύει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\bigr|{\sin\tfrac{\nu\pi}{2}}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=0$ και το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}$ δεν μπορεί να υπάρχει. Όμως το wolframalpha δίνει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}=1$ και αυτό που συμβαίνει είναι το εξής:
Εκτός από τις τιμές στα $\frac{1}{2\nu}$ (σύνολο μηδενικού μέτρου) η συνεχής συνάρτηση

έχει για όλες τις άλλες ακολουθίες $x_\nu \to 0$ όριο το

!!!

ghan · #3

Κύριε Κωστάκο, άλλα ζητάει το θέμα.

#4

ghan έγραψε:Κύριε Κωστάκο, άλλα ζητάει το θέμα.

Αγαπητέ ghan

1) που στην παραπάνω δημοσίευσή μου φαίνεται ότι δεν έχω καταλάβει τι ζητάει η άσκηση;

2) ...και μιας και επέστρεψε το θέμα, μια διευκρίνιση:
Για την ζητούμενη συνάρτηση δίνεται ότι πρέπει f({[0,1]})=[0,1]

. Σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορώ, εγώ τουλάχιστον, να βρω μια εύκολη συνεχή συνάρτηση με την ζητούμενη ιδιότητα.
Αν αυτό το $f:\left[ 0,1 \right]\to \left[ 0,1 \right]$ που δίνεται, είναι πιο "χαλαρό" από το f({[0,1]})=[0,1]

, η κάτι άλλο, τότε τα πράγματα αλλάζουν πολύ. π.χ. η συνάρτηση που αναφέρω παραπάνω πληρεί όλα τα άλλα (υποθέσεις και ζητούμενο) αλλά δεν είναι συνεχής στο

.

3) Έχεις μια λύση του θέματος;

φιλικά

#5

Εξαιρετικά δύσκολο θέμα για εξετάσεις εκτός αν είχαν διδαχθεί κάτι παρόμοιο. Είναι από μάθημα ανάλυσης ή μήπως από μάθημα τοπολογίας;

Για την συνάρτηση τώρα, γράφω κάθε

στην δυαδική του αναπαράσταση $x = 0.x_1x_2x_3\ldots$ . Στην περίπτωση που υπάρχουν δυο τρόποι να το κάνω επιλέγω αυτόν με τα άπειρα μηδενικά. Μετά ορίζω $f(x) = 0.x_1x_3x_5\ldots$ . Προφανώς κάθε αριθμός στο [0,1]

λαμβάνεται άπειρες φορές. Επίσης για κάθε $x \in [0,1]$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ , αν $|x-y| < 1/2^{2n}$ τότε τα x,y

συμφωνούν στα πρώτα

ψηφία, και επομένως τα f(x),f(y)

συμφωνούν στα πρώτα

ψηφία και άρα $|f(x) - f(y)| \leqslant 1/2^n$ . Άρα η

είναι συνεχής.

#6

Θέμα Β3, 20ος Putnam.

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol5910.html

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

achilleas έγραψε:Θέμα Β3, 20ος Putnam.

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol5910.html

Ωραιότατα...
Μένει να μάθουμε (αν είναι δυνατόν) ποιος καθηγητής στο Μαθηματικό Κρήτης έβαλε το 2000 θέμα εξετάσεων, θέμα από τον Putnam...

#8

Η μόνη λογική εξήγηση είναι οι μαθητές να είχαν διδαχθεί την ύπαρξη καμπύλων που γεμίζουν τον χώρο. (Γι' αυτό ρώτησα αν ήταν από μάθημα τοπολογίας. Νομίζω ότι είναι πιο πιθανό να δει κάποιος αυτήν την κατασκευή σε μάθημα τοπολογίας παρά σε μάθημα ανάλυσης.)

Αν λοιπόν έχουμε μια συνεχή και επί συνάρτηση $g:[0,1] \to [0,1] \times [0,1]$ τότε ορίζουμε f(x) = g_1(x)

όπου

είναι η προβολή του g(x)

στην πρώτη συντεταγμένη. Η

έχει τις ιδιότητες που ζητάμε.

#9

Επειδή φαίνεται ότι δεν έγινε κατανοητή από όλους η αρχική μου απάντηση στο θέμα, θα προσπαθήσω να γίνω σαφέστερος:

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} \bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}\,, & 0<x\leqslant1\vspace{0.2cm}\\ 1\,, & x=0 \end{array}}\right.$ είναι συνεχής στο ({0,1}]

σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης επειδή για κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ , $f\bigr({\tfrac{1}{2\nu}}\bigr)=\bigr|{\sin\bigl({2\nu\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=\bigr|{\sin({2\nu\pi})}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=0$ , $f\bigr({\tfrac{1}{2\nu+1}}\bigr)=\bigr|{\sin\bigl({({2\nu+1})\,\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu+1}}=\bigr|{\sin\bigl({\nu\pi+\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu+1}}=|{\pm1}|^{\frac{1}{2\nu+1}}=1$ και η συνάρτηση

είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\bigr[{\tfrac{1}{2\nu+1},\tfrac{1}{2\nu}}\bigr]\subset[{0,1}]$ , από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, προκύπτει ότι η

παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του

και του

. Έτσι για κάθε $y\in[{0,1}]$ υπάρχουν άπειρα το πλήθος $x\in[{0,1}]$ , τέτοια ώστε f(x)=y

.

Όσον αφορά την συνέχεια της στο : Αυτή δεν είναι συνεχής στο

(εδώ επομένως δεν πλοιρεί τα ζητούμενα της άσκησης), αλλά, επιτρέψτε μου την έκφραση, είναι "σχεδόν συνεχής στο

". Και εξηγούμαι: Στην περιοχή του

, εκτός ενός συνόλου σημείων, με μηδενικό μέτρο, όλες οι άλλες τιμές της

είναι σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του

. Αυτός είναι, άλλωστε, ο λόγος που επέλεξα να διατηρήσω την δημοσίευση, αντί να την διαγράψω.

Υ.Γ. Επειδή, ίσως λόγω της σύντομης πρώτης δημοσίευσής μου, νοιώθω ένα μερίδιο ευθύνης για την σειρά ερωταπαντήσεων που προέκυψαν επί του θέματος, ζητώ συγγνώμη από όσους ταλαιπωρήθηκαν.

Θέμα 53

Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Re: Θέμα 53

Μέλη σε σύνδεση