Θέμα 53

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα 53

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Κυρ Φεβ 19, 2012 7:08 pm

Να βρεθεί μια συνεχής συνάρτηση f:\left[ 0,1 \right]\to \left[ 0,1 \right] τέτοια, ώστε \forall y\in \left[ 0,1 \right] να υπάρχουν άπειρα x\in \left[ 0,1 \right] με f(x)=y.

(Εαρινό εξάμηνο 1999-2000 τμήματος Μαθηματικών Κρήτης)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θέμα 53

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Φεβ 20, 2012 4:51 am

Η συνάρτηση f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} 
\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}\,, & 0<x\leqslant1\vspace{0.2cm}\\ 
1\,, & x=0 
\end{array}}\right. είναι συνεχής στο ({0,1}] σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και επειδή

\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}f(x)\,{\color{red}=1}\quad{\color{red}(*)} δεν είναι συνεχής στο [{0,1}] .

Επειδή f\bigr({\tfrac{1}{2\nu}}\bigr)=0 και f\bigr({\tfrac{1}{2\nu+1}}\bigr)=1 , για \nu\in\mathbb{N}, και η συνάρτηση f είναι συνεχής, παίρνει στο [{0,1}] , άπειρες φορές οποιαδήποτε τιμή y\in[{0,1}]\,.\quad\square

\color{red}(*) edit: 20/2/2012, 08:56 Για την ακολουθία \frac{1}{2\nu} (που χρησιμοποιώ και ο ίδιος παραπάνω) ισχύει \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\bigr|{\sin\tfrac{\nu\pi}{2}}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=0 και το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x} δεν μπορεί να υπάρχει. Όμως το wolframalpha δίνει \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}}\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}=1 και αυτό που συμβαίνει είναι το εξής:
Εκτός από τις τιμές στα \frac{1}{2\nu} (σύνολο μηδενικού μέτρου) η συνεχής συνάρτηση f έχει για όλες τις άλλες ακολουθίες x_\nu \to 0 όριο το 1 !!!


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα 53

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τρί Φεβ 21, 2012 3:31 pm

Κύριε Κωστάκο, άλλα ζητάει το θέμα.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θέμα 53

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Φεβ 21, 2012 3:45 pm

ghan έγραψε:Κύριε Κωστάκο, άλλα ζητάει το θέμα.
Αγαπητέ ghan

1) που στην παραπάνω δημοσίευσή μου φαίνεται ότι δεν έχω καταλάβει τι ζητάει η άσκηση;

2) ...και μιας και επέστρεψε το θέμα, μια διευκρίνιση:
Για την ζητούμενη συνάρτηση δίνεται ότι πρέπει f({[0,1]})=[0,1] . Σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορώ, εγώ τουλάχιστον, να βρω μια εύκολη συνεχή συνάρτηση με την ζητούμενη ιδιότητα.
Αν αυτό το f:\left[ 0,1 \right]\to \left[ 0,1 \right] που δίνεται, είναι πιο "χαλαρό" από το f({[0,1]})=[0,1], η κάτι άλλο, τότε τα πράγματα αλλάζουν πολύ. π.χ. η συνάρτηση που αναφέρω παραπάνω πληρεί όλα τα άλλα (υποθέσεις και ζητούμενο) αλλά δεν είναι συνεχής στο 0.

3) Έχεις μια λύση του θέματος;

φιλικά


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8570
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 53

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 21, 2012 4:40 pm

Εξαιρετικά δύσκολο θέμα για εξετάσεις εκτός αν είχαν διδαχθεί κάτι παρόμοιο. Είναι από μάθημα ανάλυσης ή μήπως από μάθημα τοπολογίας;

Για την συνάρτηση τώρα, γράφω κάθε x στην δυαδική του αναπαράσταση x = 0.x_1x_2x_3\ldots. Στην περίπτωση που υπάρχουν δυο τρόποι να το κάνω επιλέγω αυτόν με τα άπειρα μηδενικά. Μετά ορίζω f(x) = 0.x_1x_3x_5\ldots. Προφανώς κάθε αριθμός στο [0,1] λαμβάνεται άπειρες φορές. Επίσης για κάθε x \in [0,1] και κάθε n \in \mathbb{N}, αν |x-y| < 1/2^{2n} τότε τα x,y συμφωνούν στα πρώτα 2n ψηφία, και επομένως τα f(x),f(y) συμφωνούν στα πρώτα n ψηφία και άρα |f(x) - f(y)| \leqslant 1/2^n. Άρα η f είναι συνεχής.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Θέμα 53

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Φεβ 21, 2012 5:18 pm

Θέμα Β3, 20ος Putnam.

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol5910.html

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θέμα 53

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Φεβ 21, 2012 5:29 pm

achilleas έγραψε:Θέμα Β3, 20ος Putnam.

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol5910.html
Ωραιότατα...
Μένει να μάθουμε (αν είναι δυνατόν) ποιος καθηγητής στο Μαθηματικό Κρήτης έβαλε το 2000 θέμα εξετάσεων, θέμα από τον Putnam...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8570
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα 53

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 21, 2012 5:41 pm

Η μόνη λογική εξήγηση είναι οι μαθητές να είχαν διδαχθεί την ύπαρξη καμπύλων που γεμίζουν τον χώρο. (Γι' αυτό ρώτησα αν ήταν από μάθημα τοπολογίας. Νομίζω ότι είναι πιο πιθανό να δει κάποιος αυτήν την κατασκευή σε μάθημα τοπολογίας παρά σε μάθημα ανάλυσης.)

Αν λοιπόν έχουμε μια συνεχή και επί συνάρτηση g:[0,1] \to [0,1] \times [0,1] τότε ορίζουμε f(x) = g_1(x) όπου g_1(x) είναι η προβολή του g(x) στην πρώτη συντεταγμένη. Η f έχει τις ιδιότητες που ζητάμε.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2893
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Θέμα 53

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Φεβ 24, 2012 3:15 pm

Επειδή φαίνεται ότι δεν έγινε κατανοητή από όλους η αρχική μου απάντηση στο θέμα, θα προσπαθήσω να γίνω σαφέστερος:

Η συνάρτηση f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} 
\bigr|{\sin\tfrac{\pi}{2x}}\bigr|^{x}\,, & 0<x\leqslant1\vspace{0.2cm}\\ 
1\,, & x=0 
\end{array}}\right. είναι συνεχής στο ({0,1}] σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης επειδή για κάθε \nu\in\mathbb{N}, f\bigr({\tfrac{1}{2\nu}}\bigr)=\bigr|{\sin\bigl({2\nu\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=\bigr|{\sin({2\nu\pi})}\bigr|^{\frac{1}{2\nu}}=0 , f\bigr({\tfrac{1}{2\nu+1}}\bigr)=\bigr|{\sin\bigl({({2\nu+1})\,\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu+1}}=\bigr|{\sin\bigl({\nu\pi+\tfrac{\pi}{2}}\bigr)}\bigr|^{\frac{1}{2\nu+1}}=|{\pm1}|^{\frac{1}{2\nu+1}}=1 και η συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα \bigr[{\tfrac{1}{2\nu+1},\tfrac{1}{2\nu}}\bigr]\subset[{0,1}], από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, προκύπτει ότι η f παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του 0 και του 1. Έτσι για κάθε y\in[{0,1}] υπάρχουν άπειρα το πλήθος x\in[{0,1}] , τέτοια ώστε f(x)=y .

Όσον αφορά την συνέχεια της f στο 0: Αυτή δεν είναι συνεχής στο 0 (εδώ επομένως δεν πλοιρεί τα ζητούμενα της άσκησης), αλλά, επιτρέψτε μου την έκφραση, είναι "σχεδόν συνεχής στο 0". Και εξηγούμαι: Στην περιοχή του 0, εκτός ενός συνόλου σημείων, με μηδενικό μέτρο, όλες οι άλλες τιμές της f είναι σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του 1. Αυτός είναι, άλλωστε, ο λόγος που επέλεξα να διατηρήσω την δημοσίευση, αντί να την διαγράψω.


Υ.Γ. Επειδή, ίσως λόγω της σύντομης πρώτης δημοσίευσής μου, νοιώθω ένα μερίδιο ευθύνης για την σειρά ερωταπαντήσεων που προέκυψαν επί του θέματος, ζητώ συγγνώμη από όσους ταλαιπωρήθηκαν.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες