Σελίδα 1 από 1

Επεκτάσεις και περιορισμοί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 21, 2012 8:29 pm
από s.kap
Από Εθνική Ολυμπιάδα της Ρουμανίας στην προτελευταία τάξη του Λυκείου (!)

α) Έστω f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q} μία συνάρτηση γνησίως μονότονη και επί. Να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική συνεχή επέκταση στο

\mathbb{R}

β) Να βρεθεί συνάρτηση g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία δεν είναι 1-1, ο περιορισμός της στο \mathbb{Q} είναι 1-1 και

g\left(\mathbb{Q}\right) \subset \mathbb{Q}

Re: Επεκτάσεις και περιορισμοί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 21, 2012 9:19 pm
από Mihalis_Lambrou
s.kap έγραψε:Από Εθνική Ολυμπιάδα της Ρουμανίας στην προτελευταία τάξη του Λυκείου (!)

α) Έστω f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q} μία συνάρτηση γνησίως μονότονη και επί. Να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική συνεχή επέκταση στο

\mathbb{R}

β) Να βρεθεί συνάρτηση g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία δεν είναι 1-1, ο περιορισμός της στο \mathbb{Q} είναι 1-1 και

g\left(\mathbb{Q}\right) \subset \mathbb{Q}
α) Χωρίς βλάβη η f είναι αύξουσα.

Έστω x\in \mathbb R και έστω (p_n) αύξουσα ακολουθία ρητών με p_n \to x. Η f(p_n) είναι αύξουσα και φραγμένη (ένα φράγμα είναι το f(P) όπου P ρητός μεγαλύτερος από όλα τα p_n). Άρα συγκλίνει. Θα δείξουμε ότι το όριο είναι ανεξάρτητο της ακολουθίας που επιλέξαμε: Αν (q_n) (άλλη) αύξουσα ακολουθία ρητών με q_n \to x. Κατασκευάζουμε μία νέα ακολουθία (r_n) που αποτελείται από τα p_n, \, q_n τοποθετημένα σε νέα αλλά αύξουσα ακολουθία (απλό). Τότε οι (f(p_n)), \, (f(q_n)) είναι υπακολουθίες της συγκλίνουσας (f(r_n)), άρα συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Ονομάζουμε f(x) το κοινό όριο. Αυτή είναι η επέκταση.

Είναι απλό να δούμε οτι η f είναι αύξουσα (αν x<y τότε οι όροι των ρητών που συγκλίνουν στο x είναι μικρότεροι, τελικά, από τους αντίστοιχους στο y). Θα δείξουμε ότι είναι συνεχής.

Έστω πρώτα x_n\to x γνήσια αύξουσα. Όπως πριν η f(x_n) συγκλίνει. Παίρνοντας οποιαδήποτε ακολουθία (p_n) ρητών με x_1<p_1<x_2<p_2 < x_3< ..., έχουμε f(x_1) \le f(p_1) \le f(x_2) \le  .... Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι οι ( f(x_n)), \, (f(p_n)) συγκλίνουν και μάλιστα τα δύο όρια είναι κοινά, άρα συγκλίνουν στο f(x), όπως θέλαμε.

Όμοια για x_n\to x γνήσια φθίνουσα. Γενικότερα, ισχύει για x_n\to x χωρίς περιορισμούς γιατί μπορούμε πρώτα να βρούμε γνήσια μονότονη υπακολουθία της. Η υπακολουθία αυτή έχει την ζητούμενη ιδιότητα f(x_n{'}) \to f(x) και με χρήση της εύκολα καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα για την δοθείσα. Αυτό τελειώνει την απόδειξη.

β) g(x) = x+1 αν x\ge 0 ρητός, g(x) = x-1 αν x < 0 ρητός και 0 αλλιώς.

Φιλικά,

Μιχάλης