Διαφορική εξίσωση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lowbaper92
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Πέμ Απρ 15, 2010 10:29 pm

Διαφορική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lowbaper92 » Πέμ Ιαν 19, 2012 1:27 am

Είναι ερώτημα από παλιό θέμα της σχολής μου

Να βρεθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace η μορφή της λύσης \displaystyle{ y(t) } ,\displaystyle{ t\geq 0 } της διαφορικής εξίσωσης:
\displaystyle{ y''+2y'+10y=5e^{-4t}cos\left(20t \right) }
\displaystyle{ y\left(0 \right)=1,\; y'\left(0 \right)=2 }
(Δε χρειάζεται να υπολογιστούν όλοι οι συντελεστές της απλοποίησης)

Το φτάνω μέχρι \displaystyle{ y\left(s \right)=\frac{1}{\left(s+1 \right)^{2}+9}\cdot \left[\frac{5\left(s+4 \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\left(s+4 \right)} \right] }.
Πώς το γράφω αυτό με μορφή συντελεστών?



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαφορική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 19, 2012 8:43 am

lowbaper92 έγραψε:Είναι ερώτημα από παλιό θέμα της σχολής μου

Να βρεθεί με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace η μορφή της λύσης \displaystyle{ y(t) } ,\displaystyle{ t\geq 0 } της διαφορικής εξίσωσης:
\displaystyle{ y''+2y'+10y=5e^{-4t}cos\left(20t \right) }
\displaystyle{ y\left(0 \right)=1,\; y'\left(0 \right)=2 }
(Δε χρειάζεται να υπολογιστούν όλοι οι συντελεστές της απλοποίησης)

Το φτάνω μέχρι \displaystyle{ y\left(s \right)=\frac{1}{\left(s+1 \right)^{2}+9}\cdot \left[\frac{5\left(s+4 \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\left(s+4 \right)} \right] }.
Πώς το γράφω αυτό με μορφή συντελεστών?
Σωστά μέχρι εδώ με εξαίρεση μικρό τυπογραφικό σφάλμα ( το y(s) αριστερά στην τελευταία ισότητα
είναι \hat {y}(s)).

Δεν ξέρω τι εννοείς με "μορφή συντελεστών" αλλά υποθέτω ότι ρωτάς πώς θα συνεχίσουμε χωρίς να κάνουμε όλες τις πράξεις παρακάτω. Προχωράμε ως εξής:

Ανοίγουμε την παρένθεση. Ο όρος \displaystyle{\frac{s+4}{\left(s+1 \right)^{2}+9} } έχει εύκολο αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace (τον χρησιμοποίησες ήδη στο δεξί μέλος της αρχικής εξίσωσης). Όπως και να είναι, υπάρχει στα στάνταρ τυπολόγια. Τώρα, την παράσταση \displaystyle{\frac{1}{\left(s+1 \right)^{2}+9}\cdot \frac{\left(s+4 \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}} την αναλύουμε σε απλούστερα κλάσματα ως

\displaystyle{\frac{As+B}{\left(s+1 \right)^{2}+9} + \frac{\left(Cs+D \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}} (*)

που όλα έχουν έτοιμο αντίστροφο μετασχηματισμό (είναι όπως η προηγούμενη περίπτωση).

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Υποθέτω ότι η φράση "Δε χρειάζεται να υπολογιστούν όλοι οι συντελεστές της απλοποίησης" εννοεί αυτούς ακριβώς τους συντελεστές A,B,C,D.


lowbaper92
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Πέμ Απρ 15, 2010 10:29 pm

Re: Διαφορική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lowbaper92 » Πέμ Ιαν 19, 2012 3:21 pm

Σας ευχαριστώ για την απάντηση.
\displaystyle{ y(s) } είναι ο συμβολισμός που χρησιμοποιεί το βιβλίο.
Με μπέρδεψε η λύση του καθηγητή που πετούσε κατευθείαν ότι \displaystyle{ y\left(s \right)=\frac{1}{\left(s+1 \right)^{2}+9}\cdot \left[\frac{5\left(s+4 \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\left(s+4 \right)} \right] } \displaystyle{ =\frac{A\left(s+1 \right)+3B}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}+\frac{C\left(s+4 \right)+20D}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}} }

Να κάνω μια προσπάθεια να το συνεχίσω από εκεί που το αφήσατε. Θα χρησιμοποιήσω αυτό \frak{L} για το μετασχηματισμό Laplace.
Είπαμε ότι
\displaystyle{y\left(s \right)=\frac{1}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}\cdot \frac{5\left(s+4 \right)}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\frac{s+4}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}=\frac{As+B}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}+\frac{Cs+D}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\frac{s+4}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}} }

Ας τα μετασχηματίσω ξεχωριστά:

\displaystyle{\bullet  \frac{As+B}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}=\frac{A\left(s+1 \right)+B-A}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}=\frac{A\left(s+1 \right)+B'}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}=A\frac{s+1}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}+\frac{B'}{3}\cdot \frac{3}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}} } \displaystyle{ \Rightarrow {\frak{L}}^{-1}\left(\frac{As+B}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}} \right)=Ae^{-t}cos\left(3t \right)+\frac{B'}{3}e^{-t}sin\left(3t \right) }


\displaystyle{ \bullet  \frac{Cs+D}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}=\frac{C\left(s+4 \right)+D-4C}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}=\frac{C\left(s+4 \right)+D'}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}=C\frac{s+4}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}}+\frac{D'}{20}\cdot \frac{20}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}} } \displaystyle{ \Rightarrow {\frak{L}}^{-1}\left(\frac{Cs+D}{\left(s+4 \right)^{2}+20^{2}} \right)=Ce^{-4t}cos\left(20t \right)+\frac{D'}{20}e^{-4t}sin\left(20t \right) }

\displaystyle{\bullet  \frac{s+4}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}=\frac{s+1}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}+\frac{3}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}}\Rightarrow{\frak{L}}^{-1}\left(\frac{s+4}{\left(s+1 \right)^{2}+3^{2}} \right)=e^{-t}cos\left(3t \right)+e^{-t}sin\left(3t \right) }

Άρα
\displaystyle{ y\left(t \right)=\pounds ^{-1}\left(y\left(s \right) \right)=Ae^{-t}cos\left(3t \right)+\frac{B'}{3}e^{-t}sin\left(3t \right)+Ce^{-4t}cos\left(20t \right)+\frac{D'}{20}e^{-4t}sin\left(20t \right)+e^{-t}cos\left(3t \right)+e^{-t}sin\left(3t \right)= } \displaystyle{ e^{-t}\left[\left(A+1 \right)cos\left(3t \right)+\left(\frac{B'}{3} +1\right)sin\left(3t \right) \right]+e^{-4t}\left[C\cdot cos\left(20t \right) +\frac{D'}{20}sin\left(20t \right)\right]= } \displaystyle{ \boxed {e^{-t}\left(A'cos\left(3t \right)+B''sin\left(3t \right) \right)+e^{-4t}\left(C\cdot cos\left(20t \right)+D''sin\left(20t \right) \right)} }

ΥΓ. Μπορούσα να μετασχηματίσω το 1ο και το 3ο κλάσμα μαζί και να γλίτωνα πράξεις. Μετά το πρόσεξα. Ελπίζω να μη σας κούρασα.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Διαφορική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Ιαν 19, 2012 3:40 pm

lowbaper92 έγραψε:Θα χρησιμοποιήσω αυτό \displaystyle{ \pounds  } για το μετασχηματισμό Laplace. Δε βρίσκω στο λάτεξ κάτι που να μοιάζει περισσότερο.
\mathfrak L

Κώδικας: Επιλογή όλων

\mathfrak L
\mathcal L

Κώδικας: Επιλογή όλων

\mathcal L


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαφορική εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 19, 2012 7:24 pm

lowbaper92 έγραψε: \displaystyle{ y(s) } είναι ο συμβολισμός που χρησιμοποιεί το βιβλίο.
Η λύση σου φαίνεται εντάξει. :10sta10:

Από περιέργεια, ποιο βιβλίο;

Μ.


lowbaper92
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Πέμ Απρ 15, 2010 10:29 pm

Re: Διαφορική εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lowbaper92 » Πέμ Ιαν 19, 2012 8:09 pm

Κάρολος Ι. Σεραφειμίδης
Διαφορικές εξισώσεις (Γ' έκδοση)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες