Άραγε υπάρχει;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Άραγε υπάρχει;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Ιαν 18, 2012 8:24 pm

'Εστω μία (όχι κατ' ανάγκην συνεχής) συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα \left( \alpha ,\beta \right) με \lim\limits_{x\rightarrow \beta }f\left( x\right) =\allowbreak \ell \in \mathbb{R}.
Υπάρχει άραγε ρητή συνάρτηση g τέτοια ώστε

\displaystyle{\bullet \,\ \ \ \ {\lim\limits_{x\rightarrow \beta }g\left( x\right) =\allowbreak \ell}

\displaystyle{\bullet \,\ \ \ \ g\left( x\right) \leq f\left( x\right)} κοντά στο \beta;

Δεν έχω απάντηση.

Μαυρογιάννης
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Τετ Ιαν 18, 2012 8:40 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1423
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Άραγε υπάρχει;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Ιαν 18, 2012 9:17 pm

Νίκο,
ας κάνουμε ποιο συγκεκριμένο το ερώτημα.
Για τη συνάρτηση f(x) = sin(1/x) γνωρίζουμε ότι \lim_{x\rightarrow \frac{2}{\pi }}f(x) = 1.
Υπάρχει ρητή συνάρτηση με όριο το 1 κοντά στο \frac{2}{\pi } και με τι ζητούμενη ιδιότητα;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Άραγε υπάρχει;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τετ Ιαν 18, 2012 9:22 pm

Νίκο διαβάζοντας το ερώτημά σου το μυαλό μου πήγε σε μία γενική ιδέα από αριθμητική ανάλυση που αφορά προσέγγιση συναρτήσεων ή σημείων του επιπέδου με ρητές συναρτήσεις και λέγεται προσέγγιση Pade, αν θυμάμαι καλά. Δεν μπορώ να ανακαλέσω όμως αν μπορούσες να επιτύχεις και συνθήκες όπως αυτές που αναφέρεις. Θα το ψάξω στα βιβλία μου να θυμηθώ...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άραγε υπάρχει;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 19, 2012 12:45 pm

Νίκο, δεν υπάρχει απαραίτητα.

Θα δείξω ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση g(x) ώστε \lim_{x \to 0}g(x) = 0 και g(x) \geqslant \sqrt{x} κοντά στο 0 (από δεξιά).

Πράγματι μια τέτοια g είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και άρα έχει φραγμένη παράγωγο σε κάποιο διάστημα I= [0,\delta] με \delta > 0. Όμως για κάθε x \in I από θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει 0 < \xi_x < x ώστε \displaystyle{ g'(\xi_x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}}, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άραγε υπάρχει;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Ιαν 19, 2012 1:52 pm

Δημήτρη μπράβο και χίλια ευχαριστώ. Διαισθανόμουν ότι δεν ισχύει αλλά δοκίμαζα να βρω αντιπαράδειγμα με περίεργες συναρτήσεις. Δεν μου πέρασε καθόλου από το μυαλό να αξιοποιήσω το μη φραγμένο της παραγώγου για να βρω κάτι οπως το \displaystyle{ g'(\xi_x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{x}}}.
Μαυεογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης