mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 23, 2009 8:19 pm**

Έστω $f:R\longmapsto R$ ομοιόμορφα συνεχής. Αν $\displaystyle f_{n}(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ , να δείξετε ότι $f_{n}\longrightarrow f$ ομοιόμορφα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 24, 2009 12:04 am**

Mancar Camoran έγραψε:Έστω $f:R\longmapsto R$ ομοιόμορφα συνεχής. Αν $\displaystyle f_{n}(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ , να δείξετε ότι $f_{n}\longrightarrow f$ ομοιόμορφα.

Έστω $\varepsilon<0$ (που λέει και ο Ευαγγελινός

).
Αφού η

είναι ομοιόμορφα συνεχής, μπορώ να βρω $\delta>0$ τέτοιο ώστε $x,y\in\mathbb{R}$ και $|x-y|<\delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ .
Βρίσκω $\mathbb{N}\ni n_{0}>\frac{1}{\delta}$ .
Τώρα έχουμε: Αν $n\geq n_{0}$ , τότε $|x+\frac{1}{n}-x|=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_{0}}<\delta$ , άρα $|f_{n}(x)-f(x)|=|f(x+\frac{1}{n})-f(x)|<\varepsilon$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 24, 2009 12:10 am**

Να συμπληρώσω : άρα $sup_{x\in R}|f_{n}(x)-f(x)|\leq\epsilon$ άρα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη.

mathematica.gr

Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας

Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας