mathematica.gr • μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 9...

Σελίδα 1 από 1

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 9...

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 23, 2009 2:39 am

από mathxl

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\displaystyle \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}\ln x+(x\ln x)^{2}}}. }$

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 9...

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 23, 2009 5:39 am

από grigkost

$\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}\ln x+(x\ln x)^{2}}}=\int_{1}^{e}\frac{dx}{x\,\sqrt{\ln{x}+({\ln{x}})^2}}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\ln{x}} \\ {dt\,=\,\frac{dx}{x}} \\ \end{subarray}}\,\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{t+t^2}}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} {u-t\,=\sqrt{t+t^2}} \\ {dt\,=\,\frac{2u\,({1+u})}{({1+2u})^2}\,du} \\ \end{subarray}}\,$

$\displaystyle\int_{0}^{1+\sqrt{2}}{\frac{1}{u-\frac{u^2}{1+2u}}\,\frac{2u\,({1+u})}{({1+2u})^2}\,du}=\int_{0}^{1+\sqrt{2}}{\frac{2}{1+2u}\,du}=\bigl[{\ln({1+2u})}\bigr]_{0}^{1+\sqrt{2}}=$

$\ln\left({3+2\sqrt{2}}\right)\,.\quad\square$