Frobenius-Fuchs

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

MANOLISMATHS
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Παρ Απρ 16, 2010 3:37 pm

Frobenius-Fuchs

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MANOLISMATHS » Κυρ Δεκ 18, 2011 3:50 pm

Καταφεύγω στην τελευταία μου ελπίδα.
Έχοντας λύσει πολλές διαφορικές γύρω από κανονικό ανώμαλο σημείο.
Υπέθεσα ότι και η παρακάτω θα ήταν παρόποια, δυστυχώς έκανα λάθος.

Δεν ξέρω αν κάνω κάπου επαναλαμβανόμενα το ίδιο λάθος αλλά δεν βγαινει
x\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+4x^2y=0

Παρακαλώ οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη

Να βρεθεί η γενική λύση της y(x)


Δεν ευχαριστίεται ο άνθρωπος ότι κι αν αποκτήσει
Γιατί είναι η σκέψη άπειρο, κενό και δεν γεμίζει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Frobenious-Fuchs

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Δεκ 18, 2011 5:17 pm

Αφού το σημείο είναι κανονικό ανώμαλο, αναζητούμε τη λύση (στην περιοχή του 0) στη μορφή \displaystyle{x^{a}\sum_{n\geq0}a_{n}x^n} με a_{0}\neq0.

Αντικαθιστώντας στη διαφορική θα πάρουμε

\displaystyle{(a^2-2a)a_{0}x^{a-2}+(a^2-1)a_{1}x^{a-1}+(\color{red}a^2+2a\color{black})a_{2}x^a+\sum_{n\geq0}\left[\left(n^2+(4+2a)n+a^2+4a+3\right)a_{n+3}+4a_{n}\right]x^{n+a+1}=0}

Εξισώνοντας τον πρώτο συντελεστή με το 0 και αφού a_{0}\neq0, παίρνουμε a=0 ή a=2.

Η πρώτη περίπτωση θα δώσει a_{3n+1}=a_{3n+2}=0 για n\geq0 και \displaystyle{a_{3n}=(-4)^n a_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(3k)^2+4(3k)+3}=a_{0}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}} για n\geq1.

Άρα η μια λύση θα είναι η \displaystyle{\color{red}a_{0}\sum_{n\geq1}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}x^{3n}}

Για a=2 θα κάνεις τα αντίστοιχα για να πάρεις τη δεύτερη λύση.

Ένα ωραίο βιβλίο με κάμποσα παραδείγματα για αυτά είναι το Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (Asymptotic Methods and Perturbation Theory) των C.M.Bender και S.A.Orszag. Υπάρχει στο δίκτυο.

Διόρθωσα τυπογραφικό. Το αποτέλεσμα όμως παραμένει το ίδιο.
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Κυρ Δεκ 18, 2011 9:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
MANOLISMATHS
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Παρ Απρ 16, 2010 3:37 pm

Re: Frobenious-Fuchs

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MANOLISMATHS » Κυρ Δεκ 18, 2011 8:19 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αφού το σημείο είναι κανονικό ανώμαλο, αναζητούμε τη λύση (στην περιοχή του 0) στη μορφή \displaystyle{x^{a}\sum_{n\geq0}a_{n}x^n} με a_{0}\neq0.

Αντικαθιστώντας στη διαφορική θα πάρουμε

\displaystyle{(a^2-2a)a_{0}x^{a-2}+(a^2-1)a_{1}x^{a-1}+(a^2+3a-2)a_{2}x^a+\sum_{n\geq0}\left[\left(n^2+(4+2a)n+a^2+4a+3\right)a_{n+3}+4a_{n}\right]x^{n+a+1}=0}

Εξισώνοντας τον πρώτο συντελεστή με το 0 και αφού a_{0}\neq0, παίρνουμε a=0 ή a=2.

Η πρώτη περίπτωση θα δώσει a_{3n+1}=a_{3n+2}=0 για n\geq0 και \displaystyle{a_{3n}=(-4)^n a_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(3k)^2+4(3k)+3}=a_{0}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}} για n\geq1.

Για a=2 θα κάνεις τα αντίστοιχα για να πάρεις τη δεύτερη λύση.

Ένα ωραίο βιβλίο με κάμποσα παραδείγματα για αυτά είναι το Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (Asymptotic Methods and Perturbation Theory) των C.M.Bender και S.A.Orszag. Υπάρχει στο δίκτυο.
Ευχαριστώ πολύ.Ναι έσπαγα το κεφάλι μου τι να έκανα με το a_1 και το a_2.Όταν λέτε στο δίκτυο υποθέτω εννοείται στο γνωστό άγνωστο site με τα πολλά βιβλία.

Απλά το θέμα είναι ότι στο σύγγραμμα που μελετούσα θέτει ως ειδική περίπτωση όταν οι όροι του a_0 δηλαδή a=2,a=0 διαφέρουν κατά ακέραιο τρόπο ότι προκύπτει με ειδική παραγώγιση.
Θα την ξαναδώ .Ευχαριστώ και πάλι πάντως ,με ξεκολλήσατε


Δεν ευχαριστίεται ο άνθρωπος ότι κι αν αποκτήσει
Γιατί είναι η σκέψη άπειρο, κενό και δεν γεμίζει
MANOLISMATHS
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Παρ Απρ 16, 2010 3:37 pm

Re: Frobenious-Fuchs

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MANOLISMATHS » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:03 pm

Λοιπόν για να δούμε τι βγάζω εγώ
\\\displaystyle 
x\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+4x^2y&=0\Rightarrow\\ 
\displaystyle x\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})^{\prime\prime}-\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})^{\prime}+4x^2\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})&=0\Rightarrow\\ 
\displaystyle x\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2})-\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)a_nx^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\ 
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1})-\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)a_nx^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\ 
\displaystyle r(r-2)a_ox^{r-1}+(r+1)(r-1)a_1x^{r}+r(r+2)a_2x^{r+1}+\sum_{n=3}^{+\infty}((n+r)(n+r-2)a_{n+3}x^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\\\


\displaystyle r(r-2)a_ox^{r-1}+(r+1)(r-1)a_1x^{r}+r(r+2)a_2x^{r+1}+\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r+3)(n+r+1)a_{n+3}x^{n+r+2})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})=0\Rightarrow\\

Και καταλήγω στην
a_{n+3}=\dfrac{-4a_{n}}{(n+r+3)(n+r+1)},\ a_1=a_2=0\xrightarrow[r=0]{n+3=3k}\\ 
a_{3k}=\dfrac{-4a_{3(k-1)}}{(3k)(3k-2)}

Πρώτον μπορει κάποιος να το κάνει να μην κατεβαίνει γραμμή και δεύτερον είναι ιδέα μου ή δεν βγάλαμε το ίδιο και να γιατί
τελευταία επεξεργασία από MANOLISMATHS σε Κυρ Δεκ 18, 2011 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δεν ευχαριστίεται ο άνθρωπος ότι κι αν αποκτήσει
Γιατί είναι η σκέψη άπειρο, κενό και δεν γεμίζει
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Frobenious-Fuchs

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Δεκ 18, 2011 9:12 pm

MANOLISMATHS έγραψε:Απλά το θέμα είναι ότι στο σύγγραμμα που μελετούσα θέτει ως ειδική περίπτωση όταν οι όροι του a_0 δηλαδή a=2,a=0 διαφέρουν κατά ακέραιο τρόπο ότι...
Ναι, αυτό που λες ισχύει. Δεν έκατσα να δω και την άλλη περίπτωση. Δες άμα σε βοηθάει το βιβλίο που αναφέρω στη σελίδα 72 και μετά. Το βιβλίο υπάρχει στο library.nu


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες