Ιδιότητα παραγώγου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ιδιότητα παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Δεκ 17, 2011 9:28 am

Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση και a σταθερός πραγματικός ώστε f(x) \neq ax,\ \forall x \in \mathbb{R}

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία πραγματικών \displaystyle{(x_n)_{n \ge 1}} ώστε \displaystyle{\lim_{n \to +\infty}f{'}(x_n)=a}


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
alex_eske
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 29, 2011 10:34 pm

Re: Ιδιότητα παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alex_eske » Σάβ Δεκ 17, 2011 12:01 pm

Αφού f συνεχής, δίχως βλάβη f(x)>ax , \forall x \in \mathbb{R}.
Αν υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} : f'(x_0)=a τελειώσαμε. Αν όχι, από την ιδιότητα Darboux της παραγώγου διακρίνω τις περιπτώσεις:
(α) f'(x)>a, \forall x \in \mathbb{R}. Τότε ισχύει a=\inf_{x \in \mathbb{R}}f'(x):
Aν δεν ισχύει αυτό υπάρχει e>0 με f'(x)>a+e, \forall x \in \mathbb{R}. Άρα για χ<0:
f(x)-ax<ex+f(0): άτοπο αφού f(x)-ax>0,  \forall x \in \mathbb{R}.
(b) f'(x)<a, \forall x \in \mathbb{R}. Όμοια είναι a=\sup_{x \in \mathbb{R}}f'(x):
Aν όχι, υπάρχειe>0 με f'(x)<a-e, \forall x \in \mathbb{R}. Άρα για χ>0:
f(x)-ax<-ex+f(0): άτοπο όπως πριν.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ιδιότητα παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Δεκ 17, 2011 4:20 pm

:coolspeak:


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες