Tρία τεσσάρια!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Tρία τεσσάρια!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Δεκ 12, 2011 11:40 pm

Φτιάχνουμε αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιώντας ακριβώς τρεις φορές το ψηφίο 4 και όσες φορές θέλουμε τα σύμβολα +,-,\cdot , : \,,\sqrt{\,},\left[\,\, \right],( το σύνηθες σύμβολο του ακεραίου μέρους) καθώς επίσης δεξιές και αριστερές παρενθέσεις. Να αποδειχθεί ότι κάθε ακέραιος μπορεί να είναι η τιμή μιας τέτοιας παράστασης.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Tρία τεσσάρια!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τρί Δεκ 13, 2011 12:34 am

Μια ιδέα:

Παίρνουμε τους αριθμούς \displaystyle{\Bigg[\frac{4}{\sqrt{}\sqrt{}\sqrt{}...\sqrt{}4-\sqrt{}\sqrt{}...\sqrt{}4}\Bigg]} με n,m ριζικά αντίστοιχα στον παρονομαστή.

Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε αυθαίρετα μεγάλους φυσικούς αφού η ακολουθία \displaystyle{\sqrt{}\sqrt{}...\sqrt{}4} τείνει στο 1 καθώς το πλήθος των ριζικών τείνει στο άπειρο.

Για να τους πάρουμε όλους αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία \displaystyle{\frac{4}{4^{\frac{1}{2^n}}-4^{\frac{1}{2^m}}}} έχει ένα όρο σε κάθε διάστημα (\kappa,\kappa+1) όπου \kappa φυσικός. Το \kappa μπορούμε να το πάρουμε λίγο μεγαλύτερο από το 1 αν χρειαστεί γράφοντας τους αριθμούς μέχρι το \kappa με άλλο τρόπο.

Προς το παρόν δεν μπορώ να προχωρήσω. Ίσως και να μην ισχύει.

Κάθε βοήθεια δεκτή!


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Tρία τεσσάρια!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Φεβ 19, 2012 1:36 pm

Πρόκειται για το πρόβλημα Ε 3363 από τη στήλη προβλημάτων του Αmerican Monthly.
Η λύση που ακολουθεί είναι του Marcin Kuczma και δημοσιεύτηκε στο τεύχος του Φεβρουαρίου 1992.

Αν m,n είναι δύο μη αρνητικοί ακέραιοι τότε θεωρούμε τον αριθμό \displaystyle{F(m,n)=\left( \frac{4}{4^{\frac{1}{2^m}}-1}\right)}^{\frac{1}{2^n}}.

Εφόσον \left[\sqrt{\sqrt{4}} \right]=1, κάθε F(m,n) μπορεί να προκύψει με τρία τεσσάρια και τα επιτρεπτά σύμβολα.

Αφού t<4^t-1<4t για t\in (0,1], προκύπτει 2^m<\displaystyle{\frac{4}{4^{\frac{1}{2^m}}-1}}<2^{m+2}.

Έτσι m2^{-n}<\log_2 F(m,n)<(m+2)2^{-n}.

Από εδώ προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της F είναι πυκνό στο (1,+\infty). Άρα [F(m,n)]=N άπειρες φορές για κάθε θετικό ακέραιο N.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης