Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 02, 2011 4:02 pm

Έστω f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) συνεχής και τέτοια ώστε το \displaystyle{\int_{0}^{x}f\color{red}^{2}\color{black}(t)\,dt\leq M} για κάποιο M>0 και για κάθε x\geq0.

Αν F(x) είναι αρχική της f με F(0)=0, ας δειχθεί ότι \displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{F^2(t)}{t^2}\,dt\leq(3+2\sqrt{2})M} για κάθε x\geq0.
Από "Analiza matematica culegere de probleme" Eugen Popa GIL.
ΥΓ1 : Κατ' αρχάς να ζητήσω συγνώμη για το τυπογραφικό. Ευχαριστώ το Δημήτρη για αυτό. Όπως παρατήρησε ο Θάνος (δυστυχώς ΚΑΙ αυτό μου διέφυγε), η ολοκληρωτέα συνάρτηση στο αποδεικτέο έχει ένα θεματάκι στο 0 το οποίο από ότι βλέπω στη λύση της δεν τακτοποιεί ο συγγραφέας. Δεν ξέρω ακόμα αν καλύπτεται από τις υποθέσεις της άσκησης, οπότε απλά αλλάζω το φάκελο και το αφήνω έτσι. Αν δεν γίνεται να τακτοποιηθεί, θα μοντάρουμε λίγο την υπόθεση.)

ΥΓ : 2 Αλλάζω το κάτω άκρο στο αποδεικτέο να τελειώνουμε


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Δεκ 02, 2011 8:12 pm

Εγώ δε βλέπω το πρόβλημα στο άκρο: H συνάρτηση t\mapsto \frac{F(t)}{t} μια χαρά ολοκληρώσιμη είναι στο [0,x].

Τώρα, αφού η F είναι αρχική και F(0)=0, πρόκειται για την \displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\, dt. Άρα, από την ανισότητα του Hardy στο [0,x]:
\displaystyle \int_0^x \left\{\frac{1}{t}\int_0^tf(u)\, du\right\}^2 dt \leq 4 \int_0^x (f(u))^2\, du ,

με άμεση εφαρμογή έχουμε το ζητούμενο. Η σταθερά 4 είναι βέλτιστη.

Μήπως χάνω κάτι; Αναστάση μήπως ζητάει κάτι άλλο;

Υ.Γ. Θέλετε να αποδείξουμε τη Hardy;


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 02, 2011 8:22 pm

:mrgreen: Την πάτησες σαντο τσιγάρο. Όχι ντάξει, στο βιβλίο τη λύνει με διαδoχικές Cauchy Schwartz. Δεν ήταν για αυτό το φάκελο απλά επειδή εκείνη την ώρα δεν είδα αν μπαλώνεται το θέμα με το άκρο την έβαλα εδώ. Σε ευχαριστώ.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Δεκ 02, 2011 8:30 pm

Ε, έτσι αποδεικνύεται η Hardy, με Cauchy-Schwarz. Απλώς δεν καταλαβαίνω που χάνει και βγάζει τόσο μεγάλη σταθερά.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 02, 2011 8:39 pm

Θα το αφήσω λίγο ακόμα μήπως το βγάλει κανείς και θα βάλω μετά τη λύση.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12667
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 02, 2011 8:40 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) συνεχής και τέτοια ώστε το \displaystyle{\int_{0}^{x}f^{2}(t)\,dt\leq M} για κάποιο M>0 και για κάθε x\geq0.

Αν F(x) είναι αρχική της f με F(0)=0, ας δειχθεί ότι \displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{F^2(t)}{t^2}\,dt\leq(3+2\sqrt{2})M} για κάθε x\geq0.

Έχουμε από C-S ότι F(x) = \int _1^x f(t)dt \le \sqrt { \left( \int_0^x f^2(t)dt \right) \left( \int _0^x 1^2dx\right)}   \le \sqrt {Mx}.

Άρα, με κατά παράγοντες, έχουμε

\displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{F^2(t)}{t^2}\,dt = \int_{1}^{x} F^2(t)\left(\frac{-1}{t}\right){'}\,dt = \left[-\frac{F^2(t)}{t} \right]_1^x + 2\int _1^xF(t)f(t) \cdot \frac {1}{t}\, dt

\displaystyle{= -\frac{F^2(x)}{x}  + \frac{F^2(1)}{1} + 2\int _1^x  \left( \frac {F(t) }{t}\right)f(t) \, dt \le

\displaystyle{\le 0 + M\cdot 1  + 2 \sqrt {\int _1^x  \left( \frac {F(t) }{t}\right) ^2\,dt} \sqrt { \int _1^xf ^2(t) \, dt} \le

\displaystyle{\le  M  + 2 \sqrt {\int _1^x   \frac {F^2(t) }{t^2}\,dt} \sqrt { M}.

Δηλαδή αν ονομάσουμε J το αριστερό μέλος, δείξαμε J \le M + 2\sqrt M \sqrt J , που σημαίνει \left (\sqrt J - (1-\sqrt 2)\sqrt M \right)\left (\sqrt J - (1+\sqrt 2)\sqrt M \right) \le 0. Άρα \sqrt J \le  (1+\sqrt 2)\sqrt M που με ύψωση στο τετράγωνο δίνει το ζητούμενο.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Δεν είχα δει τα παραπάνω γιατί από το σπίτι έχω αργό ιντερνέτ. Θα τα μελετήσω... Νομίζω πάντως ότι είναι τελείως άλλη μεθοδολογία.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 02, 2011 8:50 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Έχουμε από C-S ότι ...
Αυτή ακριβώς τη λύση έχει και ο κύριος Ευγένιος στο βιβλίο του.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Παρ Δεκ 02, 2011 9:30 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Edit: Δεν είχα δει τα παραπάνω γιατί από το σπίτι έχω αργό ιντερνέτ. Θα τα μελετήσω... Νομίζω πάντως ότι είναι τελείως άλλη μεθοδολογία.
Συμβαίνει το εξής (ωραίο!): Αν ολοκληρώσουμε στο μεγαλύτερο διάστημα [0,x] προκύπτει η βέλτιστη (και καλύτερη) σταθερά.

Όπως ξεκινάει ο κύριος Λάμπρου: Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε,

\displaystyle I(x)=\int_{0}^{x}\frac{F^2(t)}{t^2}\,dt = \int_{0}^{x} F^2(t)\left(\frac{-1}{t}\right){'}\,dt = \left[-\frac{F^2(t)}{t} \right]_0^x + 2\int _0^xF(t)f(t) \frac {1}{t}\, dt

\displaystyle{= -\frac{F^2(x)}{x}   + 2\int _0^x  \left( \frac {F(t) }{t}\right)f(t) \, dt \displaystyle{\le 0 + 2 \sqrt {\int _0^x  \left( \frac {F(t) }{t}\right) ^2\,dt} \sqrt { \int _0^xf ^2(t) \, dt} =

\displaystyle 2 \sqrt {I(x)}\left(\int_0^x (f(t))^2\, dt\right)^{1/2}.

Διαγράφουμε, τετραγωνίζουμε κι έχουμε τη Hardy. Επίσης, έχουμε και την πρώτη με καλύτερη σταθερά.


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Δεκ 02, 2011 10:13 pm

peter έγραψε:Συμβαίνει το εξής (ωραίο!): Αν ολοκληρώσουμε στο μεγαλύτερο διάστημα [0,x] προκύπτει η βέλτιστη (και καλύτερη) σταθερά...
Όντως κομμάτι περίεργο αυτό..


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12667
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αρχική και φράγμα για ολοκλήρωμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 02, 2011 10:19 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
peter έγραψε:Συμβαίνει το εξής (ωραίο!): Αν ολοκληρώσουμε στο μεγαλύτερο διάστημα [0,x] προκύπτει η βέλτιστη (και καλύτερη) σταθερά...
Όντως κομμάτι περίεργο αυτό..
Ναι, απίστευτο!

Και κάτι ακόμα
δεν ξαναπιάνω ασκήσεις του Αναστάση γιατί είναι δύσκολες, δεν ξαναπιάνω ασκήσεις του Αναστάση γιατί είναι δύσκολες, δεν ξαναπιάνω ασκήσεις του Αναστάση γιατί είναι δύσκολες, δεν ξαναπιάνω ασκήσεις του Αναστάση γιατί είναι δύσκολες, δεν ξαναπιάνω ασκήσεις του Αναστάση γιατί είναι δύσκολες,

πού θα παει, κάποτε θα το μάθω...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες