Δύο συνεχείς συναρτήσεις

#1

Έστω $a \in \mathbb{R}$ και $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $g:(a,+\infty) \to \mathbb{R}$ δύο συνεχείς συναρτήσεις, τέτοιες ώστε

$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}$ .

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός

, ώστε το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left(k+\{g(x)\}\right)}$ , να μην υπάρχει.

#2

s.kap έγραψε:Έστω $a \in \mathbb{R}$ και $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $g:(a,+\infty) \to \mathbb{R}$ δύο συνεχείς συναρτήσεις, τέτοιες ώστε

$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}$ .

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός , ώστε το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left(k+\{g(x)\}\right)}$ , να μην υπάρχει.

Από την υπόθεση ότι η

τείνει στο άπειρο, έπεται ότι υπάρχει διάστημα $[k, \, k+1)$ όπου η συνάτηση δεν είναι σταθερή (αν ήταν στεθερή σε κάθε τέτοιο διάστημα, θα είχε την ίδια τιμή και στο δεξί άκρο, άρα θα ήταν παντού σταθερή, με ίδια τιμή και στο επόμενο διάστημα). Έστω $\displaystyle f(k+a_0) = a \ne b = f(k+b_0)$ δύο διαφορετικές τιμές της, με $\displaystyle 0\le a_0< b_0<1$ .
Από Bolzano η

παίρνει όλες τις τιμές από ένα

και πέρα. Άρα υπάρχουν άπειρα το πλήθος $\displaystyle x_n \to \infty$ με $\{g(x_n)\} = a_0$ και άλλα άπειρα το πλήθος $\displaystyle y_n \to \infty$ με $\displaystyle \{g(y_n)\} = b_0$ . Τότε όμως $\displaystyle \lim f(k+ \{g(x_n)\}) = f(k+a_o)= a \ne b= f(k+b_0) = \lim f (k+\{g(y_n)\})$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση