Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Δύο συνεχείς συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Νοέμ 30, 2011 9:47 pm

Έστω a \in \mathbb{R} και f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}, g:(a,+\infty) \to \mathbb{R} δύο συνεχείς συναρτήσεις, τέτοιες ώστε

\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός k, ώστε το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left(k+\{g(x)\}\right)}, να μην υπάρχει.


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12961
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 30, 2011 10:17 pm

s.kap έγραψε:Έστω a \in \mathbb{R} και f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}, g:(a,+\infty) \to \mathbb{R} δύο συνεχείς συναρτήσεις, τέτοιες ώστε

\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φυσικός k, ώστε το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left(k+\{g(x)\}\right)}, να μην υπάρχει.
Από την υπόθεση ότι η f τείνει στο άπειρο, έπεται ότι υπάρχει διάστημα [k, \, k+1) όπου η συνάτηση δεν είναι σταθερή (αν ήταν στεθερή σε κάθε τέτοιο διάστημα, θα είχε την ίδια τιμή και στο δεξί άκρο, άρα θα ήταν παντού σταθερή, με ίδια τιμή και στο επόμενο διάστημα). Έστω \displaystyle f(k+a_0) = a \ne b = f(k+b_0) δύο διαφορετικές τιμές της, με \displaystyle 0\le a_0< b_0<1.
Από Bolzano η g παίρνει όλες τις τιμές από ένα M και πέρα. Άρα υπάρχουν άπειρα το πλήθος \displaystyle x_n \to \infty με \{g(x_n)\} = a_0 και άλλα άπειρα το πλήθος \displaystyle y_n \to \infty με \displaystyle \{g(y_n)\} = b_0. Τότε όμως \displaystyle \lim f(k+ \{g(x_n)\}) = f(k+a_o)= a \ne b= f(k+b_0) = \lim f (k+\{g(y_n)\}), όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες