Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Νοέμ 24, 2011 12:11 pm

Έστω η ακολουθία \left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}} με

\alpha_{1}=k και \alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}^{2}-\alpha_{\nu-1}+1 , \nu\geqslant2 .

Νά βρεθεί γιά ποιές τιμές του πραγματικού k , η ακολουθία είναι:
α) μονότονη ,
β) φραγμένη ,
γ) συγκλίνουσα.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Πέμ Νοέμ 24, 2011 2:29 pm

α) Για κάθε n \geq 2 έχουμε a_{\nu-1}^2-a_{\nu-1}+1 \geq a_{\nu-1} \Leftrightarrow (a_{\nu-1}-1)^2 \geq 0 που ισχύει, δηλαδή τελικά a_{\nu} \geq a_{\nu-1}, \forall \nu \geq 2. Οπότε a_{\mu+1} \geq a_{\mu}, \forall \mu \geq 1 οπότε η a_{\nu} είναι μονότονη (αύξουσα) για οποιαδήποτε τιμή του k \in \mathbb R.

β) Παρατηρώντας τη μονοτονία της συνάρτησης f(x)=x^2-x+1 βλέπουμε ότι είναι πάντα θετική και ότι f([0,1])=[\frac{3}{4},1] (1),
ενώ f(x)>1 για x \notin [0,1].
Ας πούμε ότι 1 \geq a_{1} \geq 0.
Έστω τώρα ότι 1 \geq a_{\nu} \geq 0 τότε λόγω της (1) έχουμε 1 \geq a_{\nu}^2-a{\nu}+1 \geq \frac{3}{4} \Rightarrow 1 \geq a_{\nu+1} \geq 0.
Επομένως από την αρχή της επαγωγής έχουμε ότι 1 \geq a_{\nu}  \geq 0 για κάθε θετικό \nu.
Δηλαδή η (a_{\nu}) είναι φραγμένη από το 0 και το 1.

Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις μελετάμε πρώτα την ακολουθία b_{\nu}=\frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}}= a_{\nu} -1 +\frac{1}{a_{\nu}}.
Τότε έχουμε b_{\nu} \geq b_{\nu-1} \Leftrightarrow a_{\nu}+\frac{1}{a_{\nu}} \geq a_{\nu-1}+\frac{1}{a_{\nu-1}} \Leftrightarrow (a_{\nu}-a_{\nu-1})(1-\frac{1}{a_{\nu}a_{\nu-1}}) \geq 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 1 \geq \frac{1}{a_{\nu}a_{\nu-1}}(2) αφού η ακολουθία (a_{\nu}) είναι αύξουσα.
Έστω τώρα ότι k>1, τότε a_{\nu} \geq a_{1}=k>1 κι άρα a_{\nu}a_{\nu-1} >1 κι οπότε ισχύει η 2 κι άρα η (b_{\nu}) είναι αύξουσα.
Όμως b_1=k-1+\frac{1}{k} >1 αφού k+\frac{1}{k}>2 για k>1. Συνεπώς \frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}} \geq \frac{a_{2}}{a_{1}} >1 για κάθε \nu.
Από αυτό καταλήγουμε ότι η (a_{\nu}) τείνει στο + \infty καθώς το \nu τείνει στο +\infty κι άρα δεν είναι φραγμένη.

Η μόνη περίπτωση που έμεινε είναι k<0 όπου τότε από τη μονοτονία της συνάρτησης f(x) έχουμε βρει ότι f(x)>1 για x \notin [0,1] κι άρα a_{2}>1 και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με πριν βρίσκουμε ότι \frac{a_{\nu+1}}{a_{\nu}} \geq \frac{a_{3}}{a_{2}} >1 για κάθε \nu \geq 2 κι άρα και πάλι καταλήγουμε ότι η (a_{\nu}) δεν είναι φραγμένη.

Συνεπώς η (a_{\nu}) είναι φραγμένη αν και μόνο αν k \in [0,1].

γ) Αν η a_{\nu} είναι φραγμένη και μονότονη, τότε είναι συγκλίνουσα οπότε η a_{\nu} είναι σίγουρα συγκλίνουσα όταν k \in [0,1]. Από την άλλη αν δεν είναι φραγμένη, τότε δεν μπορεί να είναι συγκλίνουσα. Συνεπώς η (a_{\nu}) είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν k \in [0,1] (μάλιστα παίρνοντας τα όρια στην αρχική σχέση βλέπουμε πως κάθε φορά συγκλίνει στο 1).


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: Μονότονη, φραγμένη, συγκλίνουσα ακολουθία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Νοέμ 28, 2011 5:46 pm

Μιά κάπως διαφορετική προσέγγιση για τα β) και γ):

Έστω ότι γιά κάποιες τιμές του k η ακολουθία είναι φραγμένη. Τότε θα είναι και συγκλίνουσα και, αν \mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\alpha_{\nu}=l , θα ισχύει l=l^2-l+1\quad\Leftrightarrow\quad({l-1})^2=0\quad\Leftrightarrow\quad{l}=1 .

Επειδή, για κάθε k\in\mathbb{R}, η ακολουθία είναι αύξουσα, για να είναι φραγμένη πρέπει, γιά κάθε \nu\in\mathbb{N}, να ισχύει \alpha_2\leqslant\ldots\leqslant\alpha_{\nu}\leqslant1\quad\Rightarrow\quad{k^2-k+1}\leqslant1\quad\Rightarrow\quad{k\,({k-1})}\leqslant0\quad\Rightarrow
0\leqslant{k}\leqslant1 .

Τέλος, εύκολα αποδεικνύεται ότι, είτε γιά k<0, είτε γιά k>1, η ακολουθία δεν συγκλίνει στο \mathbb{R} .
Αν k<0, τότε k^2-k+1>k^2+1>1\quad\Rightarrow\quad\alpha_{\nu}\geqslant\alpha_{2}=k^2-k+1>1 . Άτοπο, αφού, αν συνέκλινε θα έπρεπε να συγκλίνει στό 1, ενώ συγχρόνως είναι αύξουσα.
Γιά τον ίδιο λόγο καταλήγουμε σε άτοπο, υποθέτωντας ότι k>1, αφού προκύπτει \alpha_{\nu}\geqslant\alpha_{1}=k>1\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης