Darboux 5

#1

Αν η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι αύξουσα στους άρρητους και έχει την ιδιότητα Darboux, να δειχθεί ότι είναι συνεχής.

#2

Θα δείξουμε πρώτα ότι η

είναι αύξουσα. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν x,y

με

και

. Από την υπόθεση δεν μπορεί να είναι και οι δύο άρρητοι. Αν είναι και οι δύο ρητοί, παίρνουμε ένα άρρητο

στο

και παρατηρούμε ότι είτε f(x) > f(z)

είτε

. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε πως ένα από τα x,y

είναι ρητός και το άλλο άρρητος.

Ας υποθέσουμε ότι ο

είναι άρρητος. Από την ιδιότητα Darboux, για κάθε $a \in (f(y),f(x))$ υπάρχει $b \in [x,y]$ ώστε f(b) = a

. Αλλά $f(b) \geqslant f(x) > a$ για κάθε άρρητο $b \in [x,y]$ . Επομένως υπάρχουν αριθμήσιμα $b \in [x,y]$ με f(b) < f(x)

, άτοπο αφού το (f(y),f(x))

είναι υπεραριθμήσιμο.

Παρόμοια καταλήγουμε σε άτοπο όταν ο

είναι άρρητος.

Άρα η

είναι όντως αύξουσα και από την ιδιότητα Darboux πρέπει να είναι συνεχής. (Το τελευταίο πρέπει να το έχουμε ξαναδεί. Αφού είναι αύξουσα, υπάρχουν τα πλευρικά όρια και από την ιδιότητα Darboux πρέπει να είναι ίσα.)

Darboux 5

Darboux 5

Re: Darboux 5

Μέλη σε σύνδεση