Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία
Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :
Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο , είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η να είναι μονότονη ;
Μπάμπης
Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο , είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η να είναι μονότονη ;
Μπάμπης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία
Μπάμπη, καλημέρα.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :
Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο , είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η να είναι μονότονη ;
Μπάμπης
Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέτοιο διάστημα. Κοίτα εδώ viewtopic.php?f=9&t=7409
Σπύρος Καπελλίδης
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία
Τα πιο πάνω παραδείγματα δείχνουν περισσότερα από το ζητούμενο. Ένα πιο «απλό» παράδειγμα είναι το εξής:
Για oρίζουμε την απόσταση του από τον πιο κοντινό ακέραιο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής. Ορίζουμε τώρα
Από το Μ-test του Weierstrass η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και άρα η συνάρτηση είναι συνεχής. (*)
Για την μη μονοτονία τώρα, παίρνουμε ένα διάστημα . Θα περιέχει σίγουρα ένα υποδιάστημα της μορφής για κάποιο ακέραιο και κάποιο αρκετά μεγάλο. Έστω και . Για κάθε έχουμε . Για κάθε έχουμε και . Τέλος, για κάθε έχουμε . Άρα .
(*) Μπορούμε να δείξουμε την συνέχεια και χωρίς την χρήση του Weierstrass. Για κάθε έχουμε Άρα για έχουμε το οποίο τείνει στο 0 όταν το τείνει στο άπειρο.
Για oρίζουμε την απόσταση του από τον πιο κοντινό ακέραιο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής. Ορίζουμε τώρα
Από το Μ-test του Weierstrass η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και άρα η συνάρτηση είναι συνεχής. (*)
Για την μη μονοτονία τώρα, παίρνουμε ένα διάστημα . Θα περιέχει σίγουρα ένα υποδιάστημα της μορφής για κάποιο ακέραιο και κάποιο αρκετά μεγάλο. Έστω και . Για κάθε έχουμε . Για κάθε έχουμε και . Τέλος, για κάθε έχουμε . Άρα .
(*) Μπορούμε να δείξουμε την συνέχεια και χωρίς την χρήση του Weierstrass. Για κάθε έχουμε Άρα για έχουμε το οποίο τείνει στο 0 όταν το τείνει στο άπειρο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία
Χαίρομαι που η διαίσθησή μου συμφωνεί με τις απαντήσεις σας, λυπάμαι όμως που δε μπόρεσα να φτιάξω μόνος μια τέτοια συνάρτηση !
Επαληθεύεται για μια ακόμα φορά ότι τα μαθηματικά, εφαρμοσμένα και μη, απαιτούν τεράστιο μόχθο και σκληρές σπουδές , κοντά σε σοφούς δασκάλους , πάνω από τα καλύτερα βιβλία και όλα αυτά κυρίως όταν είσαι νέος !!!
Σας ευχαριστώ για τις πολύτιμες πηγές και πληροφορίες !
Μπάμπης
Επαληθεύεται για μια ακόμα φορά ότι τα μαθηματικά, εφαρμοσμένα και μη, απαιτούν τεράστιο μόχθο και σκληρές σπουδές , κοντά σε σοφούς δασκάλους , πάνω από τα καλύτερα βιβλία και όλα αυτά κυρίως όταν είσαι νέος !!!
Σας ευχαριστώ για τις πολύτιμες πηγές και πληροφορίες !
Μπάμπης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou και 7 επισκέπτες