Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Νοέμ 03, 2011 1:10 pm

Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :

Ερώτηση

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο \mathbb R, είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η f να είναι μονότονη ;

Μπάμπης



Λέξεις Κλειδιά:
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Νοέμ 03, 2011 1:17 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε μια συζήτηση με τον εξαιρετικό μου συνάδελφο Γιάννη Αλεξίου στο σχολείο και πάνω στην προσπάθεια να λύσουμε με άλλον τρόπο μια άσκηση ,προέκυψε το εξής ερώτημα :

Ερώτηση

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής αλλά όχι μονότονη στο \mathbb R, είναι δυνατόν να βρούμε πάντα ένα διάστημα Δ , στο οποίο η f να είναι μονότονη ;

Μπάμπης
Μπάμπη, καλημέρα.
Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέτοιο διάστημα. Κοίτα εδώ viewtopic.php?f=9&t=7409


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Νοέμ 03, 2011 1:20 pm



Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8565
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 03, 2011 1:56 pm

Τα πιο πάνω παραδείγματα δείχνουν περισσότερα από το ζητούμενο. Ένα πιο «απλό» παράδειγμα είναι το εξής:

Για x \in \mathbb{R} oρίζουμε d(x,\mathbb{Z}) την απόσταση του x από τον πιο κοντινό ακέραιο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής. Ορίζουμε τώρα

\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(2^n x,\mathbb{Z})}{2^n}.} Από το Μ-test του Weierstrass η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής. (*)

Για την μη μονοτονία τώρα, παίρνουμε ένα διάστημα I. Θα περιέχει σίγουρα ένα υποδιάστημα της μορφής \displaystyle{ \left(\frac{k}{2^m} - \frac{1}{2^{2m+1}},\frac{k}{2^m} + \frac{1}{2^{2m+1}}  \right)} για κάποιο ακέραιο k και κάποιο m αρκετά μεγάλο. Έστω x = k/2^m και y = 1/2^{2m+1}. Για κάθε n \leqslant m έχουμε |d(2^n x,\mathbb{Z}) - d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z})| \leqslant 2^n y. Για κάθε m+1 \leqslant n \leqslant 2m+1 έχουμε d(2^n x,\mathbb{Z}) = 0 και d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z}) = 2^n y. Τέλος, για κάθε n \geqslant 2m+1 έχουμε d(2^n x,\mathbb{Z}) = d(2^n (x \pm y),\mathbb{Z}) = 0. Άρα f(x \pm y) - f(x) \geqslant (m+1)y - my = y > 0.

(*) Μπορούμε να δείξουμε την συνέχεια και χωρίς την χρήση του Weierstrass. Για κάθε x,y \in \mathbb{R} έχουμε \displaystyle{|d(x,\mathbb{Z}) - d(y,\mathbb{Z})| \leqslant d(|x-y|,\mathbb{Z}) \leqslant \min\{|x-y|,1\}.} Άρα για |x-y| < 1/2^m έχουμε \displaystyle{ |f(x) - f(y)| \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|d(2^n x,\mathbb{Z}) - d(2^n y,\mathbb{Z})|}{2^n} \leqslant \sum_{n=1}^m \frac{2^{n-m}}{2^n} + \sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{m+1}{2^m} } το οποίο τείνει στο 0 όταν το m τείνει στο άπειρο.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Συνεχής συνάρτηση και μονοτονία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Νοέμ 03, 2011 10:23 pm

Χαίρομαι που η διαίσθησή μου συμφωνεί με τις απαντήσεις σας, λυπάμαι όμως που δε μπόρεσα να φτιάξω μόνος μια τέτοια συνάρτηση !
Επαληθεύεται για μια ακόμα φορά ότι τα μαθηματικά, εφαρμοσμένα και μη, απαιτούν τεράστιο μόχθο και σκληρές σπουδές , κοντά σε σοφούς δασκάλους , πάνω από τα καλύτερα βιβλία και όλα αυτά κυρίως όταν είσαι νέος !!!
Σας ευχαριστώ για τις πολύτιμες πηγές και πληροφορίες !

Μπάμπης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης