κυρτή για ζέσταμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 84
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 20, 2011 1:05 am
κυρτή για ζέσταμα
Έστω κυρτή μη σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του .Δείξτε ότι η δεν παίρνει max τιμή στο .
(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)
(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)
Εάν επρόκειτο να ξυπνήσω έπειτα από έναν ύπνο χιλίων ετών,
η πρώτη μου ερώτηση θα ήταν:Αποδείχθηκε η υπόθεση Riemann;
David Hilber (1862-1943)
η πρώτη μου ερώτηση θα ήταν:Αποδείχθηκε η υπόθεση Riemann;
David Hilber (1862-1943)
Λέξεις Κλειδιά:
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: κυρτή για ζέσταμα
Καλή σας μέρα και καλό μήνα. Είναι το πρώτο μου μήνυμα με την νέα εμφάνιση του mathematica. Καλορίζικη λοιπόν.
Χρειαζόμαστε ένα ορισμό για την κυρτή. Ξεκινάω με ένα (από τους πολλούς) παραδεδεγμένο (γενικό και μη σχολικό):
Μία συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα αν για κάθε και με ισχύει
που είναι ισοδύναμος με τις συνθήκες
Αν με τότε
Αν με τότε
Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση μας παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο . Επειδή εργαζόμαστε σε ανοικτό διάστημα αυτό θα περιέχει κάποια , ώστε . Τότε με ένα εύκολο υπολογισμό προσήμων στην σχέση
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρέπει .
Παίρνουμε τώρα ένα με . Θα είναι
και επομένως όπως επίσης
άρα . Συνεπώς και η είναι σταθερή στο (άτοπο). Άρα η δεν έχει μέγιστο.
Μαυρογιάννης
Χρειαζόμαστε ένα ορισμό για την κυρτή. Ξεκινάω με ένα (από τους πολλούς) παραδεδεγμένο (γενικό και μη σχολικό):
Μία συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα αν για κάθε και με ισχύει
που είναι ισοδύναμος με τις συνθήκες
Αν με τότε
Αν με τότε
Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση μας παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο . Επειδή εργαζόμαστε σε ανοικτό διάστημα αυτό θα περιέχει κάποια , ώστε . Τότε με ένα εύκολο υπολογισμό προσήμων στην σχέση
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρέπει .
Παίρνουμε τώρα ένα με . Θα είναι
και επομένως όπως επίσης
άρα . Συνεπώς και η είναι σταθερή στο (άτοπο). Άρα η δεν έχει μέγιστο.
Μαυρογιάννης
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Δευ Ιουν 18, 2012 4:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη της συνθήκης $p+q=1$. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Ιωάννου.
Λόγος: Προσθήκη της συνθήκης $p+q=1$. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Ιωάννου.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: κυρτή για ζέσταμα
Σχολικές λύσεις προϋποθέτουν και σχολικό ορισμό. Με βάση τον σχολικό ορισμό (και με δεδομένη την εξαίρεση της κατακόρυφης εφαπτομένης) η θα είναι παραγωγίσιμη και η θα είναι γνησίως αύξουσα. Αν υποτεθεί ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο επειδή αυτό είναι αναγκαστικά εσωτερικό σημείο θα πρέπει . Επομένως στα διαστήματα , η θα είναι αντιστοίχως αρνητική και θετική και η θα είναι γνησίως γθίνουσα και γνησίως αύξουσα. Το εκτός από μέγιστο αναδεικνύεται και ελάχιστο και επομένως η είναι σταθερή (άτοπο).caley-hamilton έγραψε:(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες