Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

paulgai
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Τρί Μάιος 05, 2009 4:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Χαλκιδική

Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paulgai » Τρί Ιουν 30, 2009 11:32 pm

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει αύξουσα f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} με υπεραριθμήσιμου πλήθους ασυνέχειες.


1. Mathematics is the language of nature.
2. Everything around us can be represented and understood through numbers.
3. If you graph these numbers of any system patterns emerge.

Therefore: There are patterns everywhere in nature.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Ιούλ 01, 2009 12:24 am

To έχουμε ξαναδεί το θέμα σε μία πιό γενική μορφή:
viewtopic.php?f=9&t=444
Αναφέρω μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση:

'Εστω a ένα σημείο ασυνεχείας. Από τη μονοτονία της f έχουμε ότι τα πλευρικά όρια της f στο a υπάρχουν (είναι τα m_{a}=\sup f\left( \left( -\infty ,a\right) \right) και M_{a}=\inf f\left( \left( a,+\infty \right) \right). Από την ασυνέχεια ένα τουλάχιστον θα είναι διαφορετικό από το f(a). Επομένως το σύνολο τιμών της f δεν θα περιέχει κάποιο διάστημα από τα \left( m_{a},f\left( x_{0}\right) \right) ,\,\ \ \left( f\left( x_{0}\right) ,M_{a}\right). Ας το πούμε αυτό το διάστημα I_a. Eιναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι αν b είναι ένα άλλο σημείο ασυνεχείας της f με a<b τότε και I_{a}\prec I_{b} με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του πρώτου διαστήματος είναι μικρότερο από κάποιο στοιχείο του δεύτερου. Τα διαστήματα I_{a} λοιπόν είναι διακεκριμένα. Κάθε ένα περιέχει ένα τουλάχιστον ρητό. Επιλέγουμε ένα από κάθε διάστημα. Οι ρητοί αυτοί θα ήσαν διαφορετικοί αφού ανήκουν σε ξένα διαστήματα. Αν λοιπόν είχαμε υπερ-αριθμήσιμο σύνολο σημείων ασυνεχείας θα είχαμε υπερ-αριθμήσιμο πλήθος διαστημάτων I_{a} και υπεραριθμήσιμο σύνολο ρητών (άτοπο).

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
paulgai
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Τρί Μάιος 05, 2009 4:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Χαλκιδική

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paulgai » Τετ Ιούλ 01, 2009 1:03 am

Σωστή προσέγγιση!
nsmavrogiannis έγραψε:To έχουμε ξαναδεί το θέμα σε μία πιό γενική μορφή:
viewtopic.php?f=9&t=444
Sorry!! δεν είχε πέσει στην αντίληψή μου. :oops:


1. Mathematics is the language of nature.
2. Everything around us can be represented and understood through numbers.
3. If you graph these numbers of any system patterns emerge.

Therefore: There are patterns everywhere in nature.
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Ιούλ 01, 2009 1:12 am

Μια γενίκευση του παραπάνω είναι η εξής:
Αν f:R\longmapsto R είναι γνησίως μονότονη, τότε το σύνολο των σημείων στα οποία η f είναι ασυνεχής, είναι ή κενό ή αριθμήσιμο ή απείρως αριθμήσιμο.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες