Ορισμένο ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Ορισμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Σεπ 05, 2011 1:23 am

Άς υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: \displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 05, 2011 1:45 am

kwstas12345 έγραψε:Άς υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: \displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz.
Θέτουμε z-1 = \frac{1}{2}\cosh  y. Ο παρονομαστής είναι \sqrt {4(z-1)^2-1}= \sqrt{\cosh ^2 y -1  } = \sinh y. To ολοκλήρωμα τώρα ισούται

\displaystyle  \int _{arc cosh h (-1)}^{arc cosh 1} \frac {6-\frac{1}{2} \cosh y}{\sinh y}\cdot \frac{1}{2}\sinh y dy= \int _{arc cosh (-1)}^{arc cosh 1}\left(3-\frac{1}{4} \cosh y \right)  dy που είναι άμεσο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Εκανα διόρθωση. Το αρχικό είχε τα sinh και cosh ανάποδα.


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Δευ Σεπ 05, 2011 3:23 pm

Άλλος τρόπος επιλέγοντας κατάλληλα ορίσματα και ολοκληρώνοντας πάνω στο παρακάτω σχήμα, παίρνουμε

\displaystyle\bf\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}}\frac{7-x}{\sqrt{4x^2-8x+3}}\;dx=\pi i\textrm{Res}\left(\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}};z=+\infty\right)=-3\pi i
.

[attachment=0]kwstas12345.png[/attachment]
Συνημμένα
kwstas12345.png
kwstas12345.png (28.55 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές


What's wrong with a Greek in Hamburg?
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Σεπ 05, 2011 7:15 pm

Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για το σχήμα, η προσεγγισή μου είναι με μιγαδική ανάλυση.

Με το παραπάνω σχήμα ορίσαμε την f ώστε να έχει branch-cut το \displaystyle \left[1/2,3/2 \right]

Για τον πρώτο κύκλο ορίζουμε όρισμα \displaystyle -\pi < \arg z\leqslant \pi ενώ για τον δεύτερο κύκλο ορίζουμε \displaystyle 0< \arg z\leqslant 2\pi. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η μιγαδική συνάρτηση \displaystyle f\left(z \right):=\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}

είναι συνεχής κατα μήκος του \displaystyle \left(-\infty,1/2 \right). Όταν κινούμαστε πάνω από την λωρίδα \displaystyle \left(-\infty,1/2 \right) (τείνοντας να ''πέσουμε'' πάνω σε αυτή) έχουμε \displaystyle z-\frac{1}{2}=\left|z-\frac{1}{2} \right|e^{i\pi},z-\frac{3}{2}=\left|z-\frac{3}{2} \right|e^{2\pi i }.

Άρα \displaystyle f_{+}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|e^{3\pi i}}}=\frac{i\left(7-z \right)}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}}. Όταν κινούμαστε από την κάτω μεριά έχουμε \displaystyle z-\frac{1}{2}=\left|z-\frac{1}{2} \right|e^{-\pi i},z-\frac{3}{2}=\left|z-\frac{3}{2} \right|e^{0}

άρα \displaystyle f_{-}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}e^{-\pi i/2}}=\frac{i\left(7-z \right)}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}} και έτσι \displaystyle f_{+}\left(z \right)=f_{-}\left(z \right) άρα είναι συνεχής στην λωρίδα \displaystyle \left(-\infty,1/2 \right). Άρα η f είναι συχεχής σε όλο το \mathbb{C} εκτός από το \displaystyle \left[1/2,3/2 \right].

Συγκεκριμένα όταν κινούμαστε πάνω στην πράσινη γραμμή (από την πάνω μεριά) από τον δεξί προς τον αριστερό κύκλο έχουμε \displaystyle f_{+} \left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|2z-1 \right|\left|3-2z \right|e^{2\pi i}}}=-\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}. Ενώ όταν κινούμαστε από την κάτω λωρίδα από τον αριστερό πρός τον δεξί: \displaystyle f_{-}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|3-2z \right|\left|2z-1 \right|}}=\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}.

Έτσι έχουμε στον δρόμο ολοκλήρωσης: \displaystyle \oint_{C_{1}} f\left(z \right)dz+\oint_{C_{2}} f\left(z \right)dz+2\int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-2\pi iRes\left(f,\infty \right). Όμως \displaystyle \oint_{C_{1}} f\left(z \right)dz=\int_{0}^{2\pi}{ide^{it}f\left(de^{it} \right)}dt=\int_{0}^{2\pi}{\frac{de^{it}\left(7-de^{it} \right)}{\sqrt{-4d^2e^{2it}+8de^{it}-3}}}dt.

Και \displaystyle \left|\int_{0}^{2\pi}{\frac{de^{it}\left(7-de^{it} \right)}{\sqrt{-4d^2e^{2it}+8de^{it}-3}}}dt \right|\leqslant \int_{0}^{2\pi }{\frac{7d+d^2}{\sqrt{\left|4d^2-8d-3 \right|}}}=\frac{2\pi\left(7d+d^2 \right)}{\sqrt{\left|4d^2-8d-3 \right|}}\rightarrow 0 όταν \displaystyle d\rightarrow  0. Όμοια \displaystyle \oint_{C_{2}} f\left(x \right)dz=0. Aρα \displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-\pi i Res\left(f,\infty \right).

Όμως είναι γνωστό ότι \displaystyle Res\left(f,\infty \right)=Res\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right) ,0\right)=a_{-1} όπου a_{-1} είναι ο συντελεστής του z^{-1} στο ανάπτυγμα Laurent της \displaystyle -\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right).

Είναι γνωστό ότι: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}x^k=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}, \left|x \right|<\frac{1}{4}. Επειδή: \displaystyle -\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right)=-\frac{1}{2}e^{-\pi i/2} \left(\frac{7}{z}-\frac{1}{z^2} \right)\left(\left(1-\frac{z}{2} \right)\left(1-\frac{3}{2}z \right) \right)^{-1/2}.


Έτσι \displaystyle \frac{1-7z}{z^2\sqrt{-3z^2+8z-4}}=i\left(\frac{1}{2z^2}-\frac{7}{2z} \right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}8^{-k}x^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}\left(\frac{3}{8} \right)^kx^k\right) \displaystyle =i\left(\frac{1}{2z^2}-\frac{7}{2z} \right)\left(1+\frac{x}{4}+\frac{3}{32}x^2+... \right)\left(1+\frac{3}{4}x+\frac{27}{32}x^2+... \right).

Από τις δυο τελευταίες παρενθέσεις θέλουμε μόνο τον \displaystyle x+1, και αφού πολλαπλασιαστεί με όλα τα υπόλοιπα ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο \displaystyle 3i. Άρα \displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-\pi i\left(3i \right)=3\pi

και έτσι \displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz=3\pi e^{-\pi i/2}=-3\pi i\Rightarrow \boxed{\int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz=-3\pi i}


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Δευ Σεπ 05, 2011 7:23 pm

Μπράβο Κώστα έκανες ωραία ανάλυση! :clap2: :clap2:


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες