Συνέχεια

#1

Να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός:

Αν η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ απεικονίζει κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα σε κλειστό και φραγμένο διάστημα και

κάθε ανοικτό και φραγμένο διάστημα σε ανοικτό και φραγμένο διάστημα, είναι συνεχής.

Ilias_Zad · #2

Έστω ότι δεν είναι μονότονη. Τότε χωρίς βλάβη θα υπήρχαν a<b<c

, τέτοια ώστε f(a)<f(b)>f(c)

. Τότε όμως θα είχαμε f( [a,c])=[f(r_1),f(r_2)]

με

στο

ενώ το

παρόλο που θα περιέχει το f(r_2)

δεν θα έχει μέγιστο. Άτοπο.
Άρα

μονότονη.
Τώρα για να έχει ασυνέχεια θα κάνει άλμα σε ένα σημείο

. Τότε όμως το (t-1,t+1)

δεν θα απεικονίζεται σε διάστημα πράγμα που αντιφάσκει με την εκφώνηση.
Άρα πράγματι

συνεχής.

#3

Αλλιώς, και με χρήση μόνο της υπόθεσης για τα ανοικτά διαστήματα.

Θα δούμε πρώτα ότι η αντίστροφη εικόνα $f^{-1}(J)$ κάθε ανοικτού διαστήματος

είναι ανοικτό διάστημα. Πράγματι, έστω $f^{-1}(a), f^{-1}(b) \in f^{-1}(J)$ , όπου $f^{-1}(a) \ne f^{-1}(b)$ . Χωρίς βλάβη $f^{-1}(a) < f^{-1}(b)$ . Παίρνουμε τυχαίο

με $f^{-1}(a) < c<f^{-1}(b)$ . Επειδή εξ υποθέσεως $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) =$ ανοικτό διάστημα που τα άκρα του a, b

ανήκουν στο (διάστημα)

, έπεται ότι $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) \subseteq J$ . Εδικά $f(c)\in J$ οπότε $c=f^{-1}(f(c)) \in f^{-1}(J)$ . Από αυτό έπεται, λόγω συνεκτικότητας, ότι το $f^{-1}(J)$ είναι ανοικτό διάστημα.

Τώρα, αν $U \subseteq \mathbb R$ τυχαίο ανοικτό σύνολο, τότε γράφεται ένωση διαστημάτων, $U= \cup _{\lambda}J_{\lambda}$ . Αλλά τότε $f^{-1}(U)=f^{-1}( \cup _{\lambda}J_{\lambda})=\cup _{\lambda}f^{-1}( J_{\lambda}) =$ ένωση ανοικτών διαστημάτων = ανοικτό. Άρα η αντίστροφη εικόνα ανοικτών είναι ανοικτά, συνεπώς

συνεχής.

Φιλικά,

Μιχάλης

dement · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Επειδή εξ υποθέσεως $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) =$ ανοικτό διάστημα που τα άκρα του ανήκουν στο (διάστημα) ,

Μιχάλη, νομίζω υπάρχει πρόβλημα εδώ. Τα άκρα του $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b))$ δεν είναι απαραίτητα τα a, b

.

Νομίζω ότι έχω υπόψη μου ένα αντιπαράδειγμα αν κρατήσουμε μόνο την υπόθεση για τα ανοικτά σύνολα. Διαμερίζοντας το $\mathbb{R}$ σε υπεραριθμήσιμη οικογένεια πυκνών συνόλων (π.χ. με τη σχέση ισοδυναμίας $x - y \in \mathbb{Q}$ ) και κατασκευάζοντας μια 1-1 αντιστοίχιση μεταξύ αυτής της οικογένειας και του (0,1)

, τότε η εικόνα κάθε ανοικτού φραγμένου διαστήματος (μη κενού) θα είναι το (0,1)

, χωρίς όμως η συνάρτηση να είναι συνεχής.

#5

dement έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε: Επειδή εξ υποθέσεως $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) =$ ανοικτό διάστημα που τα άκρα του ανήκουν στο (διάστημα) ,
Μιχάλη, νομίζω υπάρχει πρόβλημα εδώ. Τα άκρα του $f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b))$ δεν είναι απαραίτητα τα .

Δημήτρη, θα το ξαναδώ.

Αυτό που εννοούσα αλλά δεν διατύπωσα σωστά είναι ότι τα δύο τυχαία στοιχεία του $f^{-1}(J)$ που παίρνουμε, τα οποία ονόμασα $f^{-1}(a), \,f^{-1}(b)$ , τα επιλέγουμε (χωρίς βλάβη) με $a,b \in J$ . Από κει και πέρα θα εξετάσω το ενδιαφέρον και δύσκολο αντιπαράδειγμά σου.

Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Συνέχεια

Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση