Συνέχεια

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Σεπ 04, 2011 11:58 pm

Να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός:

Αν η f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} απεικονίζει κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα σε κλειστό και φραγμένο διάστημα και

κάθε ανοικτό και φραγμένο διάστημα σε ανοικτό και φραγμένο διάστημα, είναι συνεχής.


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Πέμ Σεπ 08, 2011 7:12 pm

Έστω ότι δεν είναι μονότονη. Τότε χωρίς βλάβη θα υπήρχαν a<b<c, τέτοια ώστε f(a)<f(b)>f(c). Τότε όμως θα είχαμε f( [a,c])=[f(r_1),f(r_2)] με r_2 στο (a,c) ενώ το f( (a,c)) παρόλο που θα περιέχει το f(r_2) δεν θα έχει μέγιστο. Άτοπο.
Άρα f μονότονη.
Τώρα για να έχει ασυνέχεια θα κάνει άλμα σε ένα σημείο t. Τότε όμως το (t-1,t+1) δεν θα απεικονίζεται σε διάστημα πράγμα που αντιφάσκει με την εκφώνηση.
Άρα πράγματι f συνεχής.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12961
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 09, 2011 12:57 am

Αλλιώς, και με χρήση μόνο της υπόθεσης για τα ανοικτά διαστήματα.

Θα δούμε πρώτα ότι η αντίστροφη εικόνα f^{-1}(J) κάθε ανοικτού διαστήματος J είναι ανοικτό διάστημα. Πράγματι, έστω f^{-1}(a), f^{-1}(b) \in f^{-1}(J), όπου f^{-1}(a) \ne f^{-1}(b). Χωρίς βλάβη f^{-1}(a) < f^{-1}(b). Παίρνουμε τυχαίο c με f^{-1}(a) < c<f^{-1}(b). Επειδή εξ υποθέσεως f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) = ανοικτό διάστημα που τα άκρα του a, b ανήκουν στο (διάστημα) J, έπεται ότι f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) \subseteq J. Εδικά f(c)\in J οπότε c=f^{-1}(f(c)) \in f^{-1}(J). Από αυτό έπεται, λόγω συνεκτικότητας, ότι το f^{-1}(J) είναι ανοικτό διάστημα.

Τώρα, αν U \subseteq \mathbb R τυχαίο ανοικτό σύνολο, τότε γράφεται ένωση διαστημάτων, U= \cup _{\lambda}J_{\lambda}. Αλλά τότε f^{-1}(U)=f^{-1}( \cup _{\lambda}J_{\lambda})=\cup _{\lambda}f^{-1}( J_{\lambda}) = ένωση ανοικτών διαστημάτων = ανοικτό. Άρα η αντίστροφη εικόνα ανοικτών είναι ανοικτά, συνεπώς f συνεχής.

Φιλικά,

Μιχάλης


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Σεπ 12, 2011 3:47 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Επειδή εξ υποθέσεως f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) = ανοικτό διάστημα που τα άκρα του a, b ανήκουν στο (διάστημα) J,
Μιχάλη, νομίζω υπάρχει πρόβλημα εδώ. Τα άκρα του f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) δεν είναι απαραίτητα τα a, b.

Νομίζω ότι έχω υπόψη μου ένα αντιπαράδειγμα αν κρατήσουμε μόνο την υπόθεση για τα ανοικτά σύνολα. Διαμερίζοντας το \mathbb{R} σε υπεραριθμήσιμη οικογένεια πυκνών συνόλων (π.χ. με τη σχέση ισοδυναμίας x - y \in \mathbb{Q}) και κατασκευάζοντας μια 1-1 αντιστοίχιση μεταξύ αυτής της οικογένειας και του (0,1), τότε η εικόνα κάθε ανοικτού φραγμένου διαστήματος (μη κενού) θα είναι το (0,1), χωρίς όμως η συνάρτηση να είναι συνεχής.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12961
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 12, 2011 7:39 pm

dement έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε: Επειδή εξ υποθέσεως f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) = ανοικτό διάστημα που τα άκρα του a, b ανήκουν στο (διάστημα) J,
Μιχάλη, νομίζω υπάρχει πρόβλημα εδώ. Τα άκρα του f( f^{-1}(a), \, f^{-1}(b)) δεν είναι απαραίτητα τα a, b.
Δημήτρη, θα το ξαναδώ.

Αυτό που εννοούσα αλλά δεν διατύπωσα σωστά είναι ότι τα δύο τυχαία στοιχεία του f^{-1}(J) που παίρνουμε, τα οποία ονόμασα f^{-1}(a), \,f^{-1}(b), τα επιλέγουμε (χωρίς βλάβη) με a,b \in J. Από κει και πέρα θα εξετάσω το ενδιαφέρον και δύσκολο αντιπαράδειγμά σου.

Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης