Αναδρομική ακολουθία (1)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Αναδρομική ακολουθία (1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τρί Αύγ 09, 2011 7:15 pm

Έστω c>0 και x_{n+1}=2x_{n}-cx_{n}^2 με 0<x_{0}<1/c. Βρείτε τον τύπο της ακολουθίας.
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Πέμ Αύγ 11, 2011 5:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Αναδρομική ακολουθία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Πέμ Αύγ 11, 2011 1:32 pm

Γειά σου Αναστάση.

Ωραία άσκηση.

Γράφω μια λύση.

Θέτουμε στην αρχή \displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}} και αντικαθιστούμε στην αναδρομική σχέση. Παίρνουμε ότι \displaystyle{\cos y_{n+1}=\cos ^2 y_n}.

Άρα τελικά

\displaystyle{x_n=\frac{1-(1-cx_0)^{2^n}}{c}}.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Αναδρομική ακολουθία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Αύγ 11, 2011 2:40 pm

AlexandrosG έγραψε:Γειά σου Αναστάση.

Ωραία άσκηση.

Γράφω μια λύση.

Θέτουμε στην αρχή \displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}} και αντικαθιστούμε στην αναδρομική σχέση. Παίρνουμε ότι \displaystyle{\cos y_{n+1}=\cos ^2 y_n}.

Άρα τελικά

\displaystyle{x_n=\frac{1-(1-cx_0)^{2^n}}{c}}.
Καλησπέρα.
Βλέποντας τη λύση αυτομάτως μου δημιουργήθηκαν τα ερώτηματα:
Μα πως σκέφτηκε AlexandrosG το συγκεκρμένο μετασχηματισμό;
Μαγικό μεν αποτελεσματικό δε!
Επιπλέον η λύση θεωρείται πλήρης;
Αυτά εν μέσω ενοχλητικού ανέμου και θερινής ραστώνης.
Θα είμαι υπόχρεος αν διαφωτιστώ!
Καλό απόγευμα!


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αναδρομική ακολουθία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 11, 2011 2:45 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω c>0 και x_{n+1}=2x_{n}-cx_{n}^2 με 0<x_{0}<1/c. Βρείτε τον τύπο της ακολουθίας.
Λίγο ευκολότερα:

Η δοθείσα γράφεται \displaystyle cx_{n+1}-1 = -(cx_n-1)^2 οπότε αναδρομικά \displaystyle cx_{n+1}-1 = -(cx_0-1)^{2^{n+1}} .

Άρα \displaystyle x_{n+1} =\frac{1 -(cx_0-1)^{2^{n+1}}}{c} .

Φιλικά,

Μιχάλης


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αναδρομική ακολουθία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 11, 2011 3:09 pm

chris_gatos έγραψε:
AlexandrosG έγραψε:
<...>
Θέτουμε στην αρχή \displaystyle{x_n=\frac{1-\cos y_n}{c}} <...>
<...>
Μα πως σκέφτηκε AlexandrosG το συγκεκρμένο μετασχηματισμό;
Μαγικό μεν αποτελεσματικό δε!
Επιπλέον η λύση θεωρείται πλήρης;
Αυτά εν μέσω ενοχλητικού ανέμου και θερινής ραστώνης.
Θα είμαι υπόχρεος αν διαφωτιστώ!
Χμμμμ.

Το συνημίτονο δεν χρειάζεται. Είναι πλασματικό.

Ο σωστός μετασχηματισμός είναι x_n = \frac{1-y_n}{c}, που δίνει y_{n+1}=y_n^2.

M.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Αναδρομική ακολουθία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Πέμ Αύγ 11, 2011 3:18 pm

Έχετε δίκιο, μεγάλη χαζομάρα!

Με μπέρδεψε το διάστημα (0,1)!


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Αναδρομική ακολουθία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Αύγ 11, 2011 5:10 pm

Το μετασχηματισμό που λέει ο Μιχάλης χρησιμποποίησα και γω. Και για να απαντήσω και στο ερώτημα του Χρήστου για το πώς προκύπτει: Αρχικά έδειξα ότι η x_{n} αυξάνει στο 1/c και μετά έκανα το μετασχηματισμό για να έχω μια ακολουθία που πάει στο 0. Νομίζω καθιστά το πρόβλημα ευκολότερα διαχειρίσιμο μια τέτοια κατάσταση.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Αναδρομική ακολουθία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Αύγ 11, 2011 5:33 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το μετασχηματισμό που λέει ο Μιχάλης χρησιμποποίησα και γω. Και για να απαντήσω και στο ερώτημα του Χρήστου για το πώς προκύπτει: Αρχικά έδειξα ότι η x_{n} αυξάνει στο 1/c και μετά έκανα το μετασχηματισμό για να έχω μια ακολουθία που πάει στο 0. Νομίζω καθιστά το πρόβλημα ευκολότερα διαχειρίσιμο μια τέτοια κατάσταση.
Οκ έτσι, αλλά το μεσημέρι με αρκετή δόση...ραστώνης μου φάνηκε περίεργος ο μετασχηματισμός με το συνημίτονο,εξ'ου και τα ερωτήματα!Δεν είχα ούτε το κουράγιο αλλά κυρίως ούτε τη διάθεση να επαληθεύσω τα αποτελέσματα.
Καλό απόγευμα.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης