μονοτονία ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2878
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

μονοτονία ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Αύγ 08, 2011 9:56 pm

Έστω η ακολουθία ({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}} , μέ \alpha_{1}=0 , \alpha_{2}=1 και \alpha_{\nu+2}=\dfrac{\nu\,\alpha_{\nu+1}+\alpha_{\nu}}{\nu+1} .
Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12314
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: μονοτονία ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Αύγ 09, 2011 2:36 am

grigkost έγραψε:Έστω η ακολουθία ({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}} , μέ \alpha_{1}=0 , \alpha_{2}=1 και \alpha_{\nu+2}=\dfrac{\nu\,\alpha_{\nu+1}+\alpha_{\nu}}{\nu+1} .
Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία.
Θα δείξουμε επαγωγικά ότι a_1<a_3<a_5 < a_7 <\cdots <a_8<a_6<a_4<a_2. Δηλαδή οι περιττής τάξης όροι αυξάνουν, οι άρτιας φθίνουν και κάθε όρος περιττής τάξης είναι μικρότερος από κάθε όρο άρτιας.

Πράγματι, για τους a_1, a_2, a_3, a_4 κάνουμε απευθείας έλεγχο κοιτώντας τις τιμές τους.

Για το επαγωγικό βήμα με υπόθεση ότι ισχύουν τα παραπάνω μέχρι και τον a_{2n+2} έχουμε

\displaystyle a_{2n+3} = \frac{(2n+1)a_{2n+2} + a_{2n+1}}{2n+2} > \frac{(2n+1)a_{2n+1} + a_{2n+1}}{2n+2}= a_{2n+1} και

\displaystyle a_{2n+3} = \frac{(2n+1)a_{2n+2} + a_{2n+1}}{2n+2} < \frac{(2n+1)a_{2n+1} + a_{2n+2}}{2n+2}= a_{2n+2}

Όμοια για τον επόμενο άρτιο δείκτη με μόνη διαφορά ότι οι ανισότητες είναι ανάποδα.

Μένει να αποδείξουμε ότι a_{2n+1}< a_{2m} , \forall m,n. Πράγματι από τα παραπάνω

a_{2n+1}< a_{2n+2m+1}< a_{2n+2m}< a_{2m}, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2878
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: μονοτονία ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Αύγ 09, 2011 10:51 am

Να ευχαριστήσω τον Μιχάλη για την μεταμεσονύκτια ενασχόλησή του και την όμορφη λύση που έδωσε.
Ακολουθεί μιά κάπως διαφορετική λύση.

\color{grey}\bullet \alpha_{2\nu+2}-\alpha_{2\nu+1}=\displaystyle\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}-\frac{({2\nu-1})\,\alpha_{2\nu}+\alpha_{2\nu-1}}{2\nu}=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl[{({2\nu})^2\,\alpha_{2\nu+1}+2\nu\,\alpha_{2\nu}-({4\nu^2-1})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\Bigl[{({2\nu})^2\,\frac{({2\nu-1})\,\alpha_{2\nu}+\alpha_{2\nu-1}}{2\nu}+({1+2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\Bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl[{({4\nu^2-2\nu})\,\alpha_{2\nu}+2\nu\,\alpha_{2\nu-1}+({1+2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu}-({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu-1}}\bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\bigl({\alpha_{2\nu}-\alpha_{2\nu-1}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu}\,\biggl[{\frac{1}{({2\nu-1})\,({2\nu-2})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-2}-\alpha_{2\nu-3}}\bigr)}\biggr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})\,({2\nu-2})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-2}-\alpha_{2\nu-3}}\bigr)=\ldots=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})\cdot\ldots\cdot3\cdot2}\,\bigl({\alpha_{2}-\alpha_{1}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+1})!}\,({1-0})=\frac{1}{({2\nu+1})!} .

\color{grey}\bullet \alpha_{2\nu+3}-\alpha_{2\nu+2}=\displaystyle\frac{({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu+2}+\alpha_{2\nu+1}}{2\nu+2}-\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl[{({2\nu+1})^2\,\alpha_{2\nu+2}+({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu+1}-({4\nu^2+4\nu})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\Bigl[{({2\nu+1})^2\,\frac{2\nu\,\alpha_{2\nu+1}+\alpha_{2\nu}}{2\nu+1}+({1-2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\Bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl[{({4\nu^2+2\nu})\,\alpha_{2\nu+1}+({2\nu+1})\,\alpha_{2\nu}+({1-2\nu-4\nu^2})\,\alpha_{2\nu+1}-({2\nu+2})\,\alpha_{2\nu}}\bigr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu+1}-\alpha_{2\nu}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})}\,\biggl[{\frac{1}{2\nu\,({2\nu-1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-1}-\alpha_{2\nu-2}}\bigr)}\biggr]=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\,2\nu\,({2\nu-1})}\,\bigl({\alpha_{2\nu-1}-\alpha_{2\nu-2}}\bigr)=\ldots=

\displaystyle\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\cdot\ldots\cdot3}\,\bigl({\alpha_{3}-\alpha_{2}}\bigr)=\frac{1}{({2\nu+2})\,({2\nu+1})\cdot\ldots\cdot3}\,\Bigl({\frac{1}{2}-1}\Bigl)=-\frac{1}{({2\nu+2})!} .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ({\alpha_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}} δεν είναι μονότονη και ότι, γιά κάθε \nu\in\mathbb{N}, ισχύει |{\alpha_{\nu+2}-\alpha_{\nu+1}}|=\dfrac{1}{({\nu+1})!}\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4292
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: μονοτονία ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Αύγ 09, 2011 11:45 am

Καλημέρα
'Ενα γεωμετρικό επιχείρημα: Από την αναδρομική σχέση φαίνεται πως
\alpha _{\nu +2}=\left( 1-\lambda _{\nu }\right) \alpha _{\nu +1}+\lambda _{\nu }\alpha _{\nu },\,\ \ \ \ \ \ \ \lambda _{\nu }\in \left( 0,1\right)
πράγμα που εγγυάται ότι κάθε όρος είναι μεταξύ των δύο προηγουμένων του και επομένως η ακολουθία δε μπορεί να είναι μονότονη.
sequence.png
sequence.png (7.28 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες