Όρια ακολουθιών

kwstas12345 · #1

Έστω $\displaystyle \left\{a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ με $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=a$ . Να αποδείξετε πώς $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{1}+2a_{2}+...+na_{n}}{n\left(n+1 \right)}=0$ και $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{na_{1}+\left(n-1 \right)a_{2}+...+2a_{n-1}+a_{n}}{n\left(n+1 \right)}=a$

#2

Ίσως κάτι να μην καταλαβαίνω αλλά νομίζω η σταθερή ακολουθία είναι αντιπαράδειγμα.

kwstas12345 · #3

Kαλησπέρα, την άσκηση την πήρα από το βιβλίο του Νεγρεπόντη, Απειροστικός Λογισμός τόμος Ι. Η εν λόγω άσκηση είναι η 4-17, σελίδα 60.Δεν έχει κάποιο περιορισμό στην εκφώνηση, από ότι βλέπω , αλλά όντως υπάρχει αντιπαράδειγμα.Ισως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό, γιατί έχω την εντύπωση για το ιι οτι το τελικό αποτέλεσμα δεν είναι

#4

Θα κοιτάξω στο εν λόγω βιβλίο μήπως βγάλω άκρη.

Για την ώρα κάνω την παρατήρηση ότι αν το πρώτο όριο υπάρχει και είναι

τότε υπάρχει και το δεύτερο και είναι a-p

. Απόδειξη: αν προσθέσουμε τις δύο ανάγεται στο $\lim _n\frac {a_1+a_2+\cdots a_n}{n}=a$ που, ως γνωστόν, ισχύει.

M.

Edit. Έκανα μικροαλλαγή στο αρχικό μου κείμενο.

#5

Νομίζω και τα δυο όρια βγαίνουν a/2

(για οποιαδήποτε ακολουθία). Απλά έγραψα την σταθερή ακολουθία διότι γι' αυτήν είναι προφανές ότι τα όρια είναι a/2

. Μάλλον κάτι άλλο θα ήθελε να ρωτήσει ο Νεγρεπόντης.

Επεξεργασία

Βάζω και μια σύντομη απόδειξη με Cesaro-Stolz. Θέτοντας $b_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n$ και c_n = n(n+1)

τότε έχουμε

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n}{n(n+1)}= \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{c_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{c_n - c_{n-1}} = \lim_{n\to \infty} \frac{na_n}{2n} = a}$ .

Για το άλλο όριο, χρησιμοποιούμε την παρατήρηση του Μιχάλη πιο πάνω ότι το άθροισμα των ορίων ισούται με

.

#6

Demetres έγραψε:Νομίζω και τα δυο όρια βγαίνουν . Μάλλον κάτι άλλο θα ήθελε να ρωτήσει ο Νεγρεπόντης.

Συμφωνώ με το Δημήτρη ότι και τα δυο όρια είναι $\dfrac{a}{2}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

Γενικότερα, αν p_n

θετικοί και $p_1+p_2+\cdots p_n \to \infty$ , τότε

$\frac {p_1a_1+p_2a_2+\cdots p_na_n}{p_1+p_2+\cdots p_n }\to a$ , από όπου και το αντίστοιχο δεύτερο όριο.

Λάθος λοιπόν στον Νεγρεπόντη κ.α. Του λείπει το $\frac{1}{2}$ του $1+2+\cdots n = \frac {1}{2}n(n+1)$

Μ.

Όρια ακολουθιών

Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Re: Όρια ακολουθιών

Μέλη σε σύνδεση