Όρια ακολουθιών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Όρια ακολουθιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Αύγ 06, 2011 9:46 pm

Έστω \displaystyle \left\{a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1} με \displaystyle \lim_{n\rightarrow  \infty} a_{n}=a. Να αποδείξετε πώς \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{1}+2a_{2}+...+na_{n}}{n\left(n+1 \right)}=0 και \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{na_{1}+\left(n-1 \right)a_{2}+...+2a_{n-1}+a_{n}}{n\left(n+1 \right)}=a



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όρια ακολουθιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 06, 2011 10:38 pm

Ίσως κάτι να μην καταλαβαίνω αλλά νομίζω η σταθερή ακολουθία είναι αντιπαράδειγμα.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Όρια ακολουθιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Αύγ 06, 2011 10:48 pm

Kαλησπέρα, την άσκηση την πήρα από το βιβλίο του Νεγρεπόντη, Απειροστικός Λογισμός τόμος Ι. Η εν λόγω άσκηση είναι η 4-17, σελίδα 60.Δεν έχει κάποιο περιορισμό στην εκφώνηση, από ότι βλέπω , αλλά όντως υπάρχει αντιπαράδειγμα.Ισως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό, γιατί έχω την εντύπωση για το ιι οτι το τελικό αποτέλεσμα δεν είναι a :?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12341
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όρια ακολουθιών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 06, 2011 10:53 pm

Θα κοιτάξω στο εν λόγω βιβλίο μήπως βγάλω άκρη.

Για την ώρα κάνω την παρατήρηση ότι αν το πρώτο όριο υπάρχει και είναι p τότε υπάρχει και το δεύτερο και είναι a-p. Απόδειξη: αν προσθέσουμε τις δύο ανάγεται στο \lim _n\frac {a_1+a_2+\cdots a_n}{n}=a που, ως γνωστόν, ισχύει.

M.

Edit. Έκανα μικροαλλαγή στο αρχικό μου κείμενο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όρια ακολουθιών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 06, 2011 10:57 pm

Νομίζω και τα δυο όρια βγαίνουν a/2 (για οποιαδήποτε ακολουθία). Απλά έγραψα την σταθερή ακολουθία διότι γι' αυτήν είναι προφανές ότι τα όρια είναι a/2. Μάλλον κάτι άλλο θα ήθελε να ρωτήσει ο Νεγρεπόντης.

Επεξεργασία

Βάζω και μια σύντομη απόδειξη με Cesaro-Stolz. Θέτοντας b_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n και c_n = n(n+1) τότε έχουμε

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n}{n(n+1)}= \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{c_n} = \lim_{n\to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{c_n - c_{n-1}} = \lim_{n\to \infty} \frac{na_n}{2n} = a}.

Για το άλλο όριο, χρησιμοποιούμε την παρατήρηση του Μιχάλη πιο πάνω ότι το άθροισμα των ορίων ισούται με a.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Σάβ Αύγ 06, 2011 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2753
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Όρια ακολουθιών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Αύγ 06, 2011 10:58 pm

Demetres έγραψε:Νομίζω και τα δυο όρια βγαίνουν a/2. Μάλλον κάτι άλλο θα ήθελε να ρωτήσει ο Νεγρεπόντης.
Συμφωνώ με το Δημήτρη ότι και τα δυο όρια είναι \dfrac{a}{2}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12341
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όρια ακολουθιών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 06, 2011 11:08 pm

Γενικότερα, αν p_n θετικοί και p_1+p_2+\cdots p_n \to \infty, τότε

\frac {p_1a_1+p_2a_2+\cdots p_na_n}{p_1+p_2+\cdots p_n }\to a , από όπου και το αντίστοιχο δεύτερο όριο.

Λάθος λοιπόν στον Νεγρεπόντη κ.α. Του λείπει το \frac{1}{2} του 1+2+\cdots n = \frac {1}{2}n(n+1)

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες