Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιαν 07, 2009 5:08 pm

Νά εξετασθεί άν η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{(\log\nu)^2}{(\log2)^{\nu}} συγκλίνει, εφαρμόζοντας τό κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert. ( \log = δεκαδικός λογάριθμος )


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιαν 07, 2009 5:52 pm

Αν θεωρήσουμε το λόγο \displaystyle\frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }},έχουμε \displaystyle\frac{{\frac{{\left( {\log (n + 1)} \right)^2 }}{{\left( {\log 2} \right)^{n + 1} }}}}{{\frac{{\left( {\log n} \right)^2 }}{{\left( {\log 2} \right)^n }}}} = \frac{1}{{\log 2}}\left[ {\frac{{\log (n + 1)}}{{\log n}}} \right]^2 που τείνει στο 1/log2 για n->oo. Όμως το 1/log2>1 , αρα η σειρά απειρίζεται θετικά...
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Τετ Ιαν 07, 2009 6:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13145
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς μέ κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 07, 2009 6:01 pm

grigkost έγραψε:Νά εξετασθεί άν η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{(\log\nu)^2}{(\log2)^{\nu}} συγκλίνει, εφαρμόζοντας τό κριτήριο πηλίκου τού D' Alembert. ( \log = δεκαδικός λογάριθμος )
Το πηλίκο διαδοχικών όρων είναι (\frac{\log(n+1)}{logn})^2\frac{1}{log2}.
Το πηλίκο των λογαρίθμων τείνει στο 1 (l' Hospital). Αλλά \frac{1}{log2}>1, οπότε η σειρά αποκλίνει.

Βέβαια είναι πιο καλά να μην χρησιμοποιήσουμε D' Alembert εδώ: Τόσο το (logn)^2 όσο
και το \left( \frac{1}{log2} \right)^n τείνουν στο άπειρο. Άρα η σειρά αποκλίνει "γρήγορα".

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Συμπλήρωμα: Χρήστο, γράφαμε συγχρόνως


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες