Όριο μέσω ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Όριο μέσω ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Πέμ Ιούλ 14, 2011 1:44 pm

Να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας:

\alpha _\nu   = \frac{1}{{\nu  + 1}} + \frac{1}{{\nu  + 2}} + ... + \frac{1}{{2\nu }}
τελευταία επεξεργασία από G.Tsikaloudakis σε Πέμ Ιούλ 14, 2011 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Τσικαλουδάκης

Λέξεις Κλειδιά:
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Όριο μέσω ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Πέμ Ιούλ 14, 2011 1:59 pm

Ζητάμε το \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{n+i}} \right). Όμως το άθροισμα αυτό είναι το άθροισμα Rieman της συναάρτησης \displaystyle \frac{1}{x+1} από 0 εώς 1 άρα το ζητούμενο όριο ισούται με \displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}}dx=\ln 2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12341
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο μέσω ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 15, 2011 9:46 pm

Χάριν ποικιλίας, γράφω άλλους δύο τρόπους. Σπεύδω όμως να τονίσω ότι είναι γνωστοί και δυσκολότεροι από τον προηγούμενο, ο οποίος είναι ο στάνταρ.

1) Είναι γνωστό ότι αν \displaystyle{ s_n = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + ... + \frac {1}{n}, τότε s_n - \ln n \rightarrow \gamma όπου \gamma η σταθερά Euler. Έτσι

\displaystyle{  \frac {1}{n+1} + \frac {1}{n+2} + ... + \frac {1}{n+n} = s_{2n}-s_n = \left(s_{2n}- \ln (2n) \right) - \left(s_{n}- \ln (n) \right) + \ln 2 \rightarrow \gamma - \gamma + \ln 2 = \ln 2


2) Είναι γνωστό (βλέπε εδώ) ότι η σειρά Taylor του \ln (1+x) συγκλίνει για -1 < x \le 1 και δίνεται από

\displaystyle{ \ln (1+x) = x- \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} -  \frac {x^4}{4 } + ....

H τελευταία για x=1 δίνει

\displaystyle{ \ln 2 = 1- \frac {1}{2} + \frac {1}{3} -  \frac {1}{4 } + ... (*).

Επίσης, εύκολα αποδεικνύεται (γνωστό άλλωστε) ότι \displaystyle{  \frac {1}{n+1} + \frac {1}{n+2} + ... + \frac {1}{2n} = 1- \frac {1}{2} + \frac {1}{3} -  \frac {1}{4 } + ... - \frac {1}{2n }. Παίρνοντας όριο, λόγω της (*) συγκλίνει στο \ln 2.

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης