ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

pablakos_09
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 5:56 pm

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pablakos_09 » Παρ Ιουν 12, 2009 6:04 pm

Να αποδειχθεί ότι όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y' + y log(2+x³) = sinx² είναι φραγμένες στο [0,+∞)..............



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιουν 12, 2009 6:29 pm

Μιά πολύ συντομη περιγραφή τής απόδειξης:

α) Επέλυσε τήν ομογενή y^{\prime}+\log(2+x^3)\,y=0, ή οποία είναι διαχωρισίμων μεταβλητών.

β) Βρές μιά μερική λύση y_\mu τής y^{\prime}+\log(2+x^3)\,y=\sin(x^2) μέ τόν τύπο τού ολοκληρώματος, ή μέ τήν μέθοδο μεταβολής τών σταθερών.

γ) τό δύσκολο μέρος τής άσκησης είναι νά δείξει κανείς ότι οί λύσεις πού βρέθηκαν είναι φραγμένες.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιουν 12, 2009 6:30 pm

pablakos_09 έγραψε:Να αποδειχθεί ότι όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y' + y log(2+x³) = sinx² είναι φραγμένες στο [0,+∞)..............

Υποθέτω ότι στην θεωρία που διδάσκεσαι, θα υπάρχουν θεωρήματα που καλύπτουν αυτή την περίπτωση. Αλλιώς, μπορούμε ανεξάρτητα ως εξής:

Υπόδειξη: Με χρήση ολοκληρωτικού παράγοντα έχουμε λύσεις της μορφής

e^{-\int_{0}^{x}{log(2+t^3)}dt}\int_{0}^{x}{(sinu^2)e^{\int_{0}^{u}log(2+t^3)dt}du

Ο πρώτος όρος τείνει στο 0 καθως χ τείνει στο άπειρο.
Στον δεύτερο όρο (με το ολοκλήρωμα από 0 έως x) κάνουμε την αντικατάσταση
u^2 = s. Αυτό θα κατεβάσει ένα s στον παρονομαστή, και το ολοκλήρωμα που προκύπτει αποδεικνύεται φραγμένο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.


pablakos_09
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 5:56 pm

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pablakos_09 » Παρ Ιουν 12, 2009 6:33 pm

Σ' ευχαριστω πολυ grigkost αλλα αν μπορει καποιος ας δωσει αναλυτικη λυση...


pablakos_09
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 5:56 pm

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pablakos_09 » Παρ Ιουν 12, 2009 8:16 pm

Ναι σωστα. Ευχαριστω πολύ και τους δυο!!


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιουν 13, 2009 7:07 pm

Μία αναλυτικότερη απόδειξη:

Οί λύσεις τής διαφορικής εξίσωσης y^{\prime}+y\,\log\!\left({2+x^3}\right)=\sin\!\left({x^2}\right) στό διάστημα \left[{0,\,+\infty}\right) είναι οί

y(x)=\displaystyle{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{y(0)+\int_0^x{\sin\!\left({x^2}\right)e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right], γιά τίς οποίες ισχύει:

\displaystyle\left|{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}\left[{y(0)+\int_0^x{\sin\!\left({x^2}\right)e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right]}\right| \leq

\displaystyle{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+\int_0^x{\left|{\sin\!\left({x^2}\right)}\right|e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right] \leq

\displaystyle { e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+\int_0^x{e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right] \stackrel{\Theta.{\rm{M}}.{\rm{T}}.}{=}

\displaystyle{e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+x\,e^{\int_0^{t_x}{\log({2+u^3})\,du}}}\right]=\left|{y(0)}\right|e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}+x\,e^{-\int_{t_x}^{x}{\log({2+t^3})\,dt}} καί

\mathop{\lim}\limits_{x\to{+\infty}}\left|{y(0)}\right|e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}=\mathop{\lim}\limits_{x\to{+\infty}}x\,e^{-\int_{t_x}^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}=0.

Άρα οί λύσεις τής εξίσωσης είναι φραγμένες στό διάστημα \left[{0,\,+\infty}\right).\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης