Σύγκλιση ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Σύγκλιση ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Ιουν 27, 2011 11:41 am

Έστω \displaystyle{(a_n)_{n \ge 1}} ακολουθία πραγματικών με \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \sum_{i=1}^n a_i^2=1}. Ας δειχθεί ότι \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} {(3n)^{\frac{1}{3}} a_n =1}.

Το παραπάνω λέει ότι \displaystyle{a_{n}=\frac{1}{(3n)^{1/3}}+o(1/(3n)^{1/3})}. Μπορούμε να βρούμε άλλον έναν όρο στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της a_{n};


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Τρί Ιουν 28, 2011 12:39 am

Σ' αρέσουν αυτά, έτσι; ;) Αυτή ήταν θέμα στην Ecole Polytechnique, σωστά;

Για το πρώτο (για το άλλο βλέπουμε όταν βρούμε λίγο χρόνο):

(α) Θέτουμε s_n=\sum_{k=1}^na_k^2. Αν \lim_{n\to \infty}s_n=s<\infty τότε από την υπόθεση έχουμε a_n\to 1/s\neq 0, άτοπο. Ώστε s_n\to +\infty. Άρα, από την υπόθεση έχουμε a_n\to 0.

(β) Αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}(n\cdot a_n^3). Η υπόθεση όμως μας λέει ότι a_n\sim 1/s_n. Οπότε, αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}\frac{n}{s_n^3}. Παρατηρούμε ότι πληρούνται οι υποθέσεις του λήμματος του Stolz για την (s_n^3), άρα αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}\frac{1}{s_{n+1}^3-s_n^3}. Μετά από πράξεις βρίσκουμε s_{n+1}^3-s_n^3=(a_{n+1}s_{n+1})^2\left[1+\frac{s_n}{s_{n+1}}+\left(\frac{s_n}{s_{n+1}}\right)^2\right]\to 3, διότι \frac{s_n}{s_{n+1}}=1-\frac{a_{n+1}^2}{s_{n+1}}\to 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης