Darboux 4

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Darboux 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Ιουν 18, 2011 6:55 am

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

Κατασκευάζουμε την συνάρτηση h(x)=\begin{cases} 
                                             f(x) & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ 
                                             g(x) & x \in \mathbb{Q} 
                                             \end{cases}

Αν η h έχει την ιδιότητα Darboux, να αποδειχθεί ότι f(x)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Darboux 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Τρί Ιουν 21, 2011 7:13 pm

Με άτοπο: Αν όχι, τότε υπάρχει \gamma\in \mathbb R και διάστημα [a,b] ώστε f(x)<\gamma <g(x) για κάθε [a,b] (λόγω συνέχειας των f,g). Άρα, αν επιλέξουμε q\in \mathbb Q, r\notin \mathbb Q με a<q<r<b τότε h(q)>\gamma >h(r), ενώ h(x)\neq \gamma για κάθε x\in [q,r].


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης