Φραγμένη

mathxl · #1

Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0.+οο) ώστε
$\displaystyle{ f''(x)=\frac{1}{x^{2}+f'(x)^{2}+1},\ \ f(0)=f'(0)=0. }$ .
Ορίζουμε και την g ώστε να ισχύει
$\displaystyle{ g(0)=0,\ \ g(x)=\frac{f(x)}{x}. }$

Να αποδείξετε ότι η g είναι φραγμένη

peter · #2

Παρατηρούμε ότι η f{'}

είναι γν. αύξουσα, άρα f{'}(x)>f{'}(0)=0

. Επιπλέον, $f{''}(x)\leq \frac{1}{1+x^2}$ για κάθε $x\geq 0$ . Άρα, $f{'}(x)\leq \arctan x$ για κάθε $x\geq 0$ (παρατηρήστε ότι η f{''}

είναι ολοκληρώσιμη). 'Οπως, πριν δείχνουμε ότι $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , οπότε
$\displaystyle 0<f(x)=\int_0^x f{'}(u)\, du \leq \int_0^x \arctan u\, du=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$ για κάθε x>0

.

Από την τελευταία ανισότητα έπεται εύκολα το συμπέρασμα. Mάλιστα, $0<g(x)<\pi/2$ για κάθε x>0

.

Φραγμένη

Φραγμένη

Re: Φραγμένη

Μέλη σε σύνδεση